LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

La formule (3) devient par conséquent, en réunissant les résidus relatifs à

:: = — et a 2 =

ce qui est d'accord avec la formule déjà trouvée (409).

Calcul des fonctions symétriques.

4,4g Soit ^-^ une fraction rationnelle quelconque, et ^, , a^., . . . , ^« les racines,

supposées distinctes, de l'équation (j; (^) = o. Si l'on pose on aura, pour une racine quelconque oo^,,

et par conséquent

Le second membre étant la somme de tous les résidus de la fraction |^, peut (443; être exprimé par un résidu unique, et l'on obtiendra ainsi l'expression d'une fonction symétrique des racines de l'équation ^ {x) = o. Soit, par exemple,

il faudra prendre

^{x) = x" [nix'"-' + ( m — I ) A, x""' + . . . -4- A„,] = x" ^' {x),

et la formule (3) devient

(4) ^■"+-^"+---+^^';;.=iL-^j;i^*

Mais on a (443)

y X" ^' jx) p \z I j^ z'" £ [

que l'on peut écrire

P X" -Jj' {x) p m -h {m — i)A,z-h-- .-h A,„^,z"'-' ^ -S^ix) ~<^ [(2"+.)](n A,z+... + A„z'") '

c'est-à-flire f436)

P x--yix]

«-- -l^ix) i 0..3. . . ti dz" \ 1 + A,z + A-.^^-f-. . .+ A„,2"

la variable z devant être remplacée par zéro après les différentiations effectuées.

449. La formule précédente serait d'une application fort pénible, mais on peut la transformer et la remplacer par une autre beaucoup plus élégante. On a trouvé

Ki)

Pour transformer ce résidu, remarquons que, pour 2 = 0, l'expression a pour limite m; or on a identiquement

et comme on a évidemment cette équation se réduit à