LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

mais

donc

i\ z dz

, /l\ <- 2" dz 1.2.3... /l I 1 dz" J:=o

Pourcalculer la valeur que prend, pour s = o, la dérivée /i'^""" de I r'" (| (-^j, il suffit de développer en série la fonction

et de multiplier par i . 2 . 3 . . . n le coefficient de z" ; or, en posant •

w = A„2"' + A„.2'"-'-h.. .-hA,r, on a

u^ lû { — I )"

l(l + A,z4-. . .^ kn,z"')=\{\-^u)=u h -5 4-. . •+ «"-f-. • ••

Or en nommant/?, q, r,..., des nombres entiers inférieurs à /i, le coefficient de ^^ dans — r — est la somme des fractions de la forme

dans lesquelles on a

/? -h 2 ^ -h . . . -h mt = n , et par conséquent le résidu cherché, c'est-à-dire

est exprimé par la somme

466 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL i3lFFÉRENTIEL.

p, q,..., l èi'ànim nombres entiers tels, que

p -{-7.q -\-. . .-\- ml =^ n.

450. La théorie des résidus peut aussi s'appliquer au calcul de quelques fonctions symétriques des solutions d'un système de deux équations à deux inconnues. Soient 9 {x, y) =0, ^ (x, y) = o, deux équations données entre x et y. Cherchons la somme des valeursque prend la fonction

dh d(p^

dx dy

dy dx

pour tous les systèmes de valeurs de x et dey qui satisfont aux deux équations. Le numérateur i( 07, j) étant une fonction quelconque de x et dej, il est digne de remarque que cette somme est toujours nulle, quelle que soit la fonction '^, pourvu que son degré soit inférieur de plus de deux unités à la somme des degrés des fonctions ^ et ^.

Si nous attribuons en effet à x une valeur déterminée, l'équation o {x, y , = o fournira pour y un certain nombre de valeurs correspondantes j,, y2"--' 7«- Posons

On sait que F [x) est une fonction rationnelle de x; cherchons le résidu intégral de cette fonction ¥{x): nous aurons

Les-résidus doivent être pris pour toutes les valeurs de x qui rendent les fonctions infinies, soit en annulant le dénominateur, soit en rendant le numérateur infini.

Les valeurs de a; qui annulent les dénominateurs ^ (^, j',), ^ {x,y2),.--, ^{x,y„) forment avec les valeurs correspondantes de y,, j,2---> /« toutes les solutions du système

Calculons d'abord les résidus qui leur correspondent. Soit a Tune de ces valeurs de X, et |S la valeur correspondante de j, on a

., p /(x,Jp)(.r— g) ^^ f{y., li)

^^ .^. ^ ■■h{x,Xp)[{x — x)\ rdb{x,rp)l

-Sx*

Ll\ RE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 467

Dans le calcul de la dérivée —- , '• — -, il faut observer quej^ est une fonclion de oc définie par l'équation rp[ûo,y) =o; on a par conséquent

dr

-j- étant fourni par l'équation

(Il </l dl dr dx d X dydx:

dr^ d'if dr

dx dy dx

d<f dA> d y d-i)

dh

dy^ dx dx d y

dx

dy

et le résidu relatif à a: = « devient

' p f{x,r,)ix-.) ^ -f^'-^^ i^7a.,,^

\drdx dx dj-j y, 'i

Les lettres a, /3, placées à droite des parenthèses, indiquent que l'on doit, après les opérations, remplacera; par a et/ par /3. La fonction/ (a?, y) est jusqu'ici arbitraire ; si nous posons

d (^ dj-

le résidu deviendra

\dy dx dx dy ) y, ,î

et la somme de ces résidus est précisément la fonction symétrique que l'on veut calculer.

Le second nombre de l'équation (3) contient encore les résidus relatifs aux valeurs de ^ qui rendent infini l'un des numérateurs. D'après le choix fait pour la

fonction/f^r, y) ces valeurs sont celles pour lesquelles on a ^ — o, et pour lesquelles par conséquent deux racines de l'équation 9 [oc, y) = o deviennent égales entre elles. Or nous allons montrer que les fractions qui répondent à ces deux racines, et qui toutes deux deviennent infinies, ont une somme finie; il sera évi-

dent alors que la somme de leurs résidus est égale à zéro, et par conséquent le second membre de l'équation (3) se réduit à la somme des résidus déjà calculés, c'est-à-dire à la fonction symétrique dont nous cherchons la valeur. Soient

(6) JAÈiIi}__^ Î1^i2iL,

les deux termes de (2) qui, pour une même valeur de ^, ce = x\ deviennent infinis en même temps. Si l'on pose x=x'^e, s étant infiniment petit, les racines r, et y^ , qui, par hypothèse, deviennent égales pour x = x', différeront infiniment peu. Soit

Jo J2 > • . • , 7/, étant déduites de l'équation (p{x, y) =0, on aura

et puisque s, y;, et rjr, sont infiniment petits, et que l'on a par hypothèse

ces équations se réduisent à

dy

d tf dx'

d<f dx''

d^'jf

par ou l'oii voit que vj, et y;^ peuvent être regardés comme égaux et de signes contraires et infiniment grands par rapport à s qui est comparable à leur carré. Il résulte

d fl

de là que les facteurs ^^ et ^ , qui figurent aux dénominateurs des formules (6),

sont proportionnels à yj, et à vj, ; ^ étant nul en effetpour x = ^',/=j', lorsque .t' devient x' -h i, et j' y' + ri, il prend la valeur

dy dx' ^df'^ ' '