LIVRE SECOND, - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. IT

deux fonctions 'f {x) et (|» {x), 9^ (x) et 6'^ (a?) les premières dérivées qui ne s'annulent pas pour x = Xo. Le théorème de Taylor donnera

^{xo-+-h) I . 2 . 3 . . . />

cp/^(x„-t-ô/<

et il est clair que, 1i tendant vers zéro, la limite du second membre est nulle si/> surpasse q, infinie si p est moindre que q, et égale à

si l'on 'À.p =^ q.

De là nous déduirons la règle suivante: Lorsqu une fraction j^, — \ se présente sous

la forme - quand on y suppose x = Xç,, sa véritable imleur est égale au rapport des

dérivées " ; si ce rapport se présente lui-même sous la forme --, il faut y substituer

le rapport des secondes dérivées „ ' -•, et ainsi de suite , jusqu à ce quon obtienne deux dérivées qui ne soient pas nulles toutes les deux, leur rapport^ qui peut être nul ou infini,

est la véritable valeur de ti — ;•

La démonstration précédente suppose que la valeur x^ pour laquelle la fraction considérée prend la forme indéterminée soit une quantité finie; s'il en était autrement, on ne pourrait pas en effet substituer à la fraction proposée le rapport

VT— " 7T' et faire tendre ensuite Avers zéro, car^^ étant intini ne peut pas figurer

^{X,+ Il] '0 V i T'

dans les calculs comme une quantité déterminée. Pour éviter cette difficulté, il

suffit de changer de variable. Si l'on pose ^= -, la fraction 14 — • devient — ^^^7

et 'c'est alors pour r=^o qu'elle prend la forme indéterminée. On peut alors lui appliquer le théorème général dont la démonstration n'est plus en défaut, et l'on a

et la règle ne subit par conséquent aucun changement.

452. Lorsqu'une fraction prend la forme - pour des valeurs attribuées simulta-

nément à deux variables ^ et j, elle est, en général, absolument indéterminée, et sa limite dépend de la loi suivant laquelle les deux variables s'approchent des valeurs pour lesquelles la difficulté se présente. Soit en effet

une fraction qui, poura; = aso, j=j^ prend la forme ^, posons^=Xo + A,j= y„^-X-, nous aurons, en remarquant que 9 [x^, y^) et (j; (^0, y^J sont nuls ,

Lorsque A et ^ sont infiniment petits, R et R< peuvent être négligés, et l'on a

o{x,x) dx dr ,. ^/^ "^ A dr

iiiij -— ^ — 11m —r-^ T — ^ lim

dx dr dx h dr

et cette expression dépend du rapport ^ qui est entièrement arbitraire.

Fractions qui se présentent sous la forme g .

453. Lorsque les deux termes d'une fraction ^J deviennent infinis pour -une valeur 07 = . ^0 de la variable, on peut écrire cette fraction sous la forme

LtmJ

et alors les deux termes devenant nuls, on rentre dans le cas précédent En appliquant la règle on trouve

( ^ ) lim il^^ = lim -^(^^^ = lim "L^^ • îi^.

Soit A la limite cherchée de la fraction ||^, l'équation précédente équivaut à

(3) A = AMim^|,