LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

on en conclut

A = lim ^ — - ■>

et par conséquent la fraction ^ qui se présente sous la forme §-, peut être remplacée par le rapport des dérivées ^7^^-

Le raisonnement précédent est en défaut lorsque la quantité désignée par A est nulle ou infinie : il n'est pas permis en effet, dans ce cas, de supprimer le facteur commun aux deux membres de l'équation (3), on peut s'assurer cependant que la règle reste exacte.

Soit ^^une fraction qui, pour ^ = 0^0, prend la forme g-, et dont la limite est

égale à zéro.

Considérons l'expression

qui évidemment se présente aussi sous la forme |-; il est clair qu'elle a pour limite le nombre arbitraire a; la règle lui est donc applicable et l'on a

■h [x] et par conséquent

lim -^—{ = 0,

ce qui prouve l'exactitude de la règle.

Si le rapport '^^ devient infini, le rapport inverse ^J a pour limite zéro, il

en est par conséquent de même de ^r|^, et |r[^J devient infini.

454. On doit remarquer que la règle précédente donne seulement le moyen de substituer une difficulté à une autre. En effet, si pour j" = .r„, une fonction o{x) devient infinie, sa dérivée devient en même temps infinie, et lorsque le rapport de deux fonctions se présente sous la forme g-, pour une valeur finiea: = ^„ de la variable, le rapport des dérivées prend nécessairement la même forme indéterminée.

Soit en effet x^ - h une valeur fixe (\ex, aussi voisine que l'on voudra de .r„, et .r„ — h' une valeur variable que nous ferons tendre vers Xç,; on a

o{Xo — h') — <?{Xo — h) ^ ^, r __ /, ^ Q (/, /,')].

i76 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si h' tend vers zéro, h restant fixe, le premier membre augmente indéfiniment; il doit donc en être de même du second, et la dérivée ffl'(^) devient par conséquent aussi grande que l'on veut pour une valeur de x comprise entre ocç^ — h et x^, et il en résulte évidemment qu'elle est infinie pour .r = .ro.

455. La démonstration que nous avons donnée suppose l'existence d'une limite déterminée pour la fraction considérée Yr~\ ' ^^^^ ^^^^^ d'être applicable lorsque la

quantité désignée par A (453) est en réalité indéterminée. Il peut arriver aussi que le rapport des dérivées soit indéterminé, lors même que la fraction a une limite déterminée. Par exemple

X — sin X