LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. i

La première est toujours satisfaite. Quant aux deux suivantes, elles peuvent s'écrire

dp , dp ,

-£da:+^^dr=o,

et pour qu'elles soient costipatibles, on doit avoir

dp dq dp dq

dx dy dy dx

Si l'on pose

dx' ~ '' df' ~ ^ ' dx dy ~ ^'

cette équation équivaut à

elle détermine sur la surface la courbe suivant laquelle elle peut être touchée par un plan. Il faut bien remarquer que si l'on a trouvé sur une surface une courbe pour les points de laquelle l'équation (5) soit satisfaite, il n'est pas certain pour cela que le plan tangent soit le même en tous les points de cette courbe ; il faut encore, en effet, que les deux équations (4) soient satisfaites, lorsque dx et dy désignent les déplacements infiniment petits effectués sur cette courbe. Lorsque l'équation rt — s'- = o est satisfaite pour tous les points d'une surface, on peut trouver en chaque point une direction suivant laquelle on peut déplacer le point de contact du plan tangent, sans que celui-ci change de position; chaque plan tangent touche alors la surface suivant une ligne, et celle-ci étant l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation ne contient évidemment qu'un seul paramètre, est une surface développable.

EXERCICES

1. Aucune courbe algébrique ne présente de points d'arrêt; eu d'autres termes, le cercle infiniment petit ayant pour centre un point d'une courbe algébrique, ne coupe jamais la courbe en un point unique.

2. Aucune courbe algébrique ne présente de points anguleux ; en d'autres termes, le cercle infiniment petit ayant pour centre un point d'une courbe algébrique, ne coupe jamais la courbe en deux points séparés par un arc dont la limite diffère de zéro ou d'une demirirconférence.