da

dF d'F \ , „

dH' , ^ , d^ dF,^d'F

~dF^^'^ de' ^''^^dadb

M contenant des termes du troisième ordre, ou d'ordre supérieur, par rapport

à a?,, j,, z^. Si l'on coupe la surface par une sphère de rayon infiniment petit R,

ayant son centre au point M, on aura, en désignant par a, /3, 7 les angles formés

par les axes de coordonnées avec le rayon vecteur qui aboutit à l'un des points

d'intersection

^, =RcOSa, ri = RcOSp, Z,=rRcOS7.

Par la substitution de ces valeurs, le facteur R^ figurera à tous les termes de M, et l'équation deviendra, en supprimant ce facteur,

et les angles a, ^, 7, sont donc tels, que le polynôme placé entre parenthèses soit infiniment petit avec R; il en résulte évidemment que toutes les courbes tracées sur la surface sont tangentes aux génératrices du cône lieu des droites pour lesquelles cette condition est remplie, et qui a pour équation

,ûf*F , , ^^F , ^d'Y d'Y d'Y d'Y

c'est un cône du second degré. S'il est imaginaire, la surface n'a pas de tangentes au point M, qui est par conséquent un point isolé.

471 . Il existe sur certaines surfaces, des lignes singulières suivant lesquelles elles sont touchées par un même plan, et dont la recherche se rattache naturellement au sujet traité dans ce chapitre.

Soit

l'équation d'une surface. Si l'on pose

dz dz

dx~P' dr~'^'

l'équation du plan tangent est

(2) v — z=pit-~x) + q[u—j-].

Les coordonnées du point de contact en variant infiniment peu,deviennent x + dx, y + dy, z^dz; les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation (2) reste la même, sont évidemment

dz=pdx ^qdf dp = o, dq = o.