THÉORIE DES MAXIM A ET MIMMA

Maxima et minima des fonctions d'une seule variable.

i72. Lorsqu'une fonction 9 (a;), pour une valeur a de la variable, est plus grande que pour toute valeur infiniment voisine, plus grande ou plus petite que a, on dit qu'elle est maxima. Si au contraire la fonction est moindre que pour toute valeur de la variable infiniment peu différente de a, on dit qu'elle est minima. Nous avons déjà remarqué que la variable croissant d'une manière continue, la dérivée de la fonction, positive lorsque celle-ci est croissante, négative lorsqu'elle est décroissante, est égale à zéro pour les valeurs qui correspondent aux maxima et aux minima. C'est là le théorème fondamental de la théorie qui nous occupe, mais il doit être complété par l'étude des caractères qui distinguent le maximum du minimum et des cas dans lesquels, la dérivée étant nulle, il n'y a cependant ni maximum ni minimum.

473. Soit 9 [x) une fonction continue de la variable x\ en nommant h un petit accroissement attribué à x, on a

II

(r) ?(^4-/0 — <p(^) = ^?'(^)H •/(^-HOA),

où 5 est un nombre compris entre zéro et l'unité. Si (^' ix) n'est pas nul, et que 9" [x) reste fini pour les valeurs considérées de la variable, il est clair que, h étant infiniment petit, le terme du premier degré en h donne son signe au second membre de l'équation (1), la différence (^ [x -^ h) — a^ [x] change par conséquent de signe avec h, et la valeur de x ne correspond ni à un maximum ni à un minimum. La condition commune au maximum et au minimum est donc, comme nous le savions, que la dérivée 9' [x] soit égale à zéro. En supposant cette condition remplie pour la valeur particulière x = a, le théorème de Taylor donne

Si (p"(«) n'est pas nul, le premier terme, pour de petites valeurs de h, donne son signe au second nombre, el la différence 9 («-h A) — 9 [a) est par conséquent, quel

que soit le signe de h, de même signe que f {a). Il y a donc minimum si (^"(a) est

positif et maximum dans le cas contraire.

Lorsque 'f"(«) est nul en même temps que ?>'(«), le théorème de Taylor donne

Si '/"(«) n'est pas nul, le premier terme donnant pour de petites valeurs de A son signe au second membre, le signe de la différence o (a-\-h) —(p [a) change avec celui de A, et il n'y a ni maximum ni minimum.

Le même raisonnement montre que si (p"'(a) est nul en même temps que o"{a) et (p'{(i), il y a maximum lorsque ©'''(«) est négatif, et minimum lorsqu'il est positif.

En général, pour que la fonction 9 [x) soit maxima ou minima pour la valeur a; = « de la variable, il faut que dans la suite des dérivées 9' (a), 9"(«), 9"' (a),..., la première qui ne s'annule pas soit d'ordre pair; si cette dérivée est négative, il y a maximum, et si elle est positive, minimum.

Appliquons la règle qui précède à la solution de quelques problèmes.

474. PROBLÈME I. — Trouver la plus coLif'te distance d'une courbe plane donnée par son équation y = (p {00), à un point donné dans son plan par les coordonnées (a, j3; . Le carré de la distance que l'on veut rendre minima est

y étant donné en fonction de x, cette expression ne dépend que d'une s eule variable. La règle précédente est donc applicable. En égalant sa dérivée à zéro , on a

^ dr

Cette condition commune au maximum et au minimum exprime que le point donné, dont les coordonnées sont a et j'3, est situé sur la normale menée à la courbe par le point dont les coordonnées sont x et y. Pour distinguer le maximum du minimum, il faut examiner le signe de la seconde dérivée

( dr\'- , r , d-y^

Il y a maximum si cette expression est négative, et minimum si elle est positive. Lorsqu'elle est nulle, il n'y a, en général, ni maximum ni minimum.

Si le point représenté par les coordonnées a, p, se meut sur une normale de la courbe donnée, ^ et y étant les coordonnées du pied de cette normale, l'expression (2) ne changera de signe qu'une seule fois, et ce sera pour la valeur de ]3 qui