LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

la rend nulle. 11 existe donc sur chaque normale un point qui sépare ceux dont la distance à la courbe comptée sur cette normale est un minimum, de ceux dont la distance est un maximum. La normale comptée à partir de ce point n'est ni maxima ni minima, en sorte que le cercle tangent à la courbe décrit de ce point comme centre n'est ni complètement intérieur dans le voisinage du point de contact, car la distance serait minima, ni complètement extérieur, car elle serait maxima; mais les distances de son centre aux points de la courbe étant les unes plus grandes, les autres plus petites que son rayon, il traverse la courbe, à laquelle il est cependant tangent, puisque son centre est situé sur la normale au point qui leur est commun. Ce cercle remarquable, que l'on nomme cercle osculatcur, joue un grand rôle dans la théorie des courbes, et nous aurons à l'étudier sous d'autres points de vue.

475. Les résultats précédents s'étendent aisément aux courbes à double courbure. Soient 7=9 [oc), z = <^ [x), les équations d'une telle courbe, et a, ]S, 7 les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, le carré de la distance de ce point à un point de la courbe ayant pour coordonnées x, y, z, est

Pour que cette distance soit maxima ou minima, il faut que la dérivée soit nulle, la condition commune aux deux cas est donc

Cette équation exprime que le point a, /3, 7 est situé dans le plan normal à la courbe menée par le pointai, 7, z. La ligne maxima ou minima est par conséquent une normale comme dans le cas précédent. Le signe de la seconde dérivée

, V (dyy i'dzY , d-v d- z

apprendra si la distance est maxima ou minima. Le pied de la normale étant donné, les points du plan normal dont la distance à ce pied est un minimum, sont séparés de ceux pour lesquels elle est minimum par une droite dont l'une des équations s'obtient en égalant à zéro l'expression (2). L'autre équation est évidemment celle du plan normal. Le caractère des points de cette droite est que leurs distances au points, y, z, quoique normales à la courbe, ne sont ni maxima ni minima; elle est, comme nous le verrons plus tard, l'axe du cercle osculateur de la courbe à double courbure.

476. Le problème que nous venons de résoudre présente dans un cas particulier L 63

une difficulté qu'il est bon de signaler; supposons que la courbe donnée soit un

cercle ayant pour équation

et que le point donné, situé sur l'axe des X, ait a pour abscisse, le carré de la distance considérée est

En égalant sa dérivée à zéro, on trouve

équation impossible. Faut-il conclure de là, contrairement à l'évidence, que la distance considérée n'est pas susceptible de minimum? La méthode générale est évidemment en défaut dans le cas actuel. La démonstration même que nous en avons donnée rend raison de ce cas d'exception. Nous avons admis en effet que, 9 (a) étant minimum, la différence 9 (a -t-/t) — ip [a] est positive, quel que soit le signe de la quantité très-petite h. Or dans le cas actuel, la variable x désignant l'abscisse d'un point du cercle, est comprise entre — R et 4-R. Si donc on lui attribue une de ces valeurs extrêmes, le signe de son accroissement est déterminé, et le raisonnement fondé sur ce que ce signe est arbitraire, cesse d'être applicable. Il peut donc, dans ce cas, y avoir maximum ou minimum de la distance, sans que la dérivée soit nulle, et c'est ce qui a lieu pour les points où la courbe rencontre l'axe des X , et dont les abscisses sont ±. R.

477. Problème IL — Deux portions d'un plan sont séparées par une ligne droite

indéfinie OX; la lumière se meut en ligne droite dans chacun des deux milieux, avec

une vitesse qui varie, suivant une loi connue^ avec la direction du rayon. On demande

quel chemin elle doit suivre pour parvenir d'un point A du premier milieu, à un

point B du second, dans le moindre temps possible.

Soit a la distance du point A au-dessus de la ligne OX, et b celle du point B audessousdecette même ligne. Si Mest le point où le rayon de lumière doit traverser OX, de telle sorte que la route la plus rapidement parcourue soit AMB, on a, en nommant d la distance PQ comprise entre les projections des points A et B sur OX, et © et ^1; les angles formés par MA et MB avec la normale à OX,

(i) a langK» + ^ langi]> = fl?;

de plus, uQiv désignant les vitesses de la lumière lorsqu'elle suit les directions AM et MB, le temps employé à passer de A en B est

U COS«p V COSrp