PRÉFACE. XXXI

Les règles qui permettent de décider de la convergence d'une série acquirent une importance nouvelle lorsf[ue cette convergence eut été reconnue indispensable. La solution du proljlèrae dans quelques cas particuliers est aussi ancienne que l'emploi des séries; mais l'étude approfondie n'en a été faite que très-tard et très-lentement.

Nous pouvons citer d'abord quelques règles presque évidentes données par d'Aleml)ert, et relatives aux séries numériques, l'expression du reste de la série de Taylor par Lagrange, l'étude d'une série importante dont Gauss a donné la condition de convergence en la rattachant à des règles élégantes, et enfin des méthodes nombreuses et auxquelles bien peu de cas peuvent échapper, pour décider de la convergence des séries numériques à termes positifs.

A l'étude des conditions de convergence des séries, nous avons dû joindre l'exposition des méthodes qui facilitent leur sommation approchée lorsqu'elles sont lentement convergentes. Nous en exposons trois qui reposent sur des principes très-différents, et dont chacune pourra, dans certains cas, se trouver plus avantageuse que les deux autres. L'une de ces méthodes est due à Stirling, la seconde à Euler, la troisième, qui est d'une grande élégance, a été proposée par M. Kummer.

La série de Taylor, à cause de sa grande généralité, devait plus que toute autre fixer l'attention des géomètres; l'expression du reste, successivement obtenue sous diverses formes plus ou moins appropriées aux cas les plus remarquables que l'on devait traiter, semblait, avant les beaux travaux de Cauchy, donner le dernier mot delà question envisagée sous forme abstraite. En approfondissant le résultat de Taylor, sans sortir du point de vue auquel il s'est placé, on y voit tout d'abord et assez facilement une généralisation du principe sur lequel repose le calcul différentiel : l'accroissement infiniment petit d'ime fonction quelle qu'elle soit, si l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, est proportionnel à l'accroissement de la variable; les exceptions dont la possibilité est évidente, puisque la fonction reste indéterminée, ne pouvant jamais se rapporter qu'à certaines valeurs singulières de la variable et le théorème restant forcément exact en général et pour toute fonction continue. Si l'on étudie la question de plus près, en se bornant toujours cependant au cas d'un accroissement infiniment petit, on démontre que l'excès de l'accroissement d'une fonction sur la partie que Ton