XXXII PRÉFACE

peut nommer principale et proportionnelle à l'accroissement de la varial^le, devient forcément proportionnel au carré de celui-ci, lorsque l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second; la portion principale de ce qui est négligé dans cette seconde approximation est elle-même proportionnelle au cube de l'accroissement de la variable, et ainsi de suite indéfiniment, les exceptions possibles se rapportant, non à des fonctions singulières, car le théorème est une conséquence nécessaire de la loi de continuité, mais à des valeurs spéciales de la variable pour lesquelles la continuité est rompue.

Ce point de vue très-important et très-lumineux du théorème de Taylor n'en donnerait cependant qu'une intelligence imparfaite.

C'est à Cauchy que revient l'honneur d'avoir le premier rattaché cette question importante à ses véritables principes. La possibilité ou l'impossibilité de développer une fonction par la formule de Taylor peut être reconnue sans qu'il soit nécessaire de calculer les termes mêmes de la série, pourvu que la fonction à développer soit définie pour les valeurs réelles et imaginaires de la variable. Cette introduction des imaginaires dans une question à laquelle leur théorie semble'd' abord complètement étrangère est un des plus grands progrès que l'analyse doive à Cauchy et qu'elle ait faits dans ce siècle.

Les expressions imaginaires se présentent comme une conséquence nécessaire des formules les plus simples de l'Algèbre; les racines des équations du second degré impossibles ont la forme a-\-b \J — i , qui est aussi celle des racines de toute équation algébrique, et généralement des résultats fournis par des opérations algébriques quelconques exécutées sur de telles expressions. Ces théorèmes furent admis par les géomètres avant d'avoir été rigoureusement démontrés. Euler les énonçait en 1742, à^i^ les Mlscellanea BeroUnensia^ comme bien connus. C'est cependant en 1 746 qu'on en trouve la première démonstration générale donnée par d'Alembert, démonstration insuffisante, il faut l'avouer, ainsi que toutes celles qui furent données jusqu'au JMémoire où Gauss reprend cette question après avoir justement critiqué les raisonnements proposés jusqu'à lui. Peu de questions du reste ont été plus souvent traitées. Gauss n'y a pas consacré moins de cincj Mémoires, et Cauchy, auquel on a souvent attribué la première démonstration rigoureuse, y est revenu lui-même à plusieurs reprises.

PRÉFACE. xxxm

Non-seulement les opérations algébriques exécutées sur les expressions imaginaires donnent pour résultat des expressions de même forme qu'elles, mais encore le logarithme d'une expression imaginaire admet une infinité de valeurs, toutes de la forme a-{- b y— -i , et la puissance dont l'exposant est imaginaire peut être mise sous la même forme, à Lufuelle on est toujours ramené. C'est là ime découverte importante d'Euler, cjui fait d'autant plus d'honneur à sa pénétration, que les discussions de licibnitz et de lîernoulll sur ce sujet n'avaient fait qu'embrouiller la question en en montrant toutes les difficultés. Euler dissipa tous les nuages en faisant connaître l'expression des lignes trigonométriques au moyen d'exponentielles imaginaires, d'où l'on a déduit tant de belles conséquences, signalées en grande partie par luimême. Citons seulement ici la décomposition des lignes trigonométriques en produits, et les nombreuses formules auxquelles elle conduit, et dont les démonstrations, peu rigoureuses il faut l'avouer, ont été confirmées depuis par une analyse plus sévère. C'est à Euler également que l'on doit les séries ([ui expriment les sinus et cosinus du multiple d'un arc en fonction des puissances entières du sinus ou du cosinus, et réciproquement les puissances du sinus ou du cosinus en série dont les termes sont les sinus ou cosinus des multiples de l'arc; les résultats qu'il a fait connaître sont soumis, il est vrai, à des restrictions qu'il n'a pas connues, et les géomètres, trompés par leurs idées sur la généralité des formules algébriques, ont mis longtemps à les soup- (;onner. Poisson signala le premier une contradiction qu'elles présentent, et dont l'explication ne fut pas donnée immédiatement; mais en mathémati- (jues les formules ne se démentent jamais, et lorsqu'il s'y présente quelque résultat paradoxal, on peut affirmer qu'un examen plus attentif le fera disparaître. Poinsot ne tarda pas, en effet, dans son IMémoire sur les sections angulaires, à préciser le sens et les conditions d'exactitude de ces divers développements. L'examen des questions de convergence est malheureusement laissé de côté dans son travail, et a été fait pour la première fois pai- Aljel, dans son important ^lémoire sur le binôme.

Ce Mémoire d'Abel nous ramène à la théorie de§ fonctions imaginaires,

dont nous Jie nous sommes écarté qu'en apparence en parlant des séries

trigonométriques. L'illustre géomètre norvégien y étudie, avec une rigueur

jus([ue-là bien rare dans les questions de ce genre, la série du binôme, dans