La fonction

peut s'exprimer simplement : si l'on pose

X = h ces y,

elle devient

h" ( cos tp -+- y/^^ sin <f)" -+- h" { cos <p — v^ — i sin «p )" h" ces n «,

et en remplaçant (p par sa valeur, arc cos ^^ , on a

r h". COS ( n arc cos 7

Telle est la fonction entière et rationnelle de jc, de degré /i, qui, lorsque .r varie de —h'à -hh, s'écarte le moins possible de zéro.

491. M. Tchebitchefa appliqué le résultat précédent à la théorie de l'interpolation. Soit F (^) une fonction que l'on cherche à représenter, pour des valeurs de la variable comprises entre — A et + A, par un polynôme de la forme

on détermine, comme on sait, les coefficients A, B, C,..., H, par la condition que pour n valeurs ^,,0^2,..., oc,i de œ, comprises entre —h et -\-h, la fonction soit égale au polynôme. Le choix des valeurs a?,, a?,,..., x,, est regardé comme indifférent, et l'on trouve plus simple habituellement de les prendre équidistantes; mais le raisonnement suivant montre qu'il est plus avantageux de les choisir autrement. La fonction V (x) étant égale au polynôme ^ 1 ) pour les valeurs .r,, x^,..., x„ de X, si l'on pose

.^{^'— x^){^ — Xi)...{x — x„)' (2 ) Y{x) — k-hx — Cx\.. — \\ X"-' = P ^ ^^ ^ 3 ^ '

le facteur P sera, pour chaque valeur de x, égal à l'une des valeurs que prend la i^icme dérivée de F [x), lorsque x varie de — A à -H A; supposons, en effet, que l'on

attribue à P une valeur telle, que l'équation {i) soit exacte pour une valeur a^„+, de X, comprise entre —h et -h h, l'équation

Y(x)^A — îix — Cx\.. — Ux"-' — P^ — ^ î^ =G.

Admettant les n+ i racines a?,, x^,..., ^;,+,, toutes comprises entre —A et -4-/?, la dérivée du premier membre s'annule /^ fois entre les mêmes limites; la seconde dérivée s'annule n — i fois,..., et la n'^'"^ dérivée une fois au moins. On a, par conséquent, pour une valeur de x comprise entre — h et -h h,

Pest donc, comme nous l'avons annoncé, l'une des valeurs que prend F" ( x), lorsque X varie de —h k -h h.

L'erreur commise en remplaçant la fonction F (x) par le polynôme ( i ) peut, d'après ce qui précède, être représentée par

1 ^ ÛC \ )\ OC *-~~ ,X 2 } • ' • V " } '

a désignant une valeur inconnue, variable avec x, mais toujours comprise entre — h et H- h.

Lorsque h est très-petit, si la dérivée F''^' [x] a pour x= o une valeur finie et

déterminée, le facteur ", ' varie i)eu, et le rapport de ses valeurs extrêmes

est peu différent de l'unité; on doit donc, pour obtenir la meilleure représentation possible, choisir les valeurs de x^,x.,,..., x„ de telle sorte que le produit

[x Xx)[x X'i). ■ .{x Xn)

s'écarte le moins possible de zéro, et l'on prendra par conséquent pour x^, x.,..., x„ les racines de l'équation

(3) [x-^\jx'' — h^j"-\-[x — v'V — /;\,." = o.

Ces racines sont d'ailleurs faciles a obtenir; si l'on fait x = heos(p, l'équation (3) devient

cos w o = o , et l'on en tire

o = co?