LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. M

X, désignant en effet l'une d'elles, x = jc\ annule évidemment le premier membre de (6), et il annule aussi la dérivée

car on a, en vertu des équations (5 j,

¥{x,Y — lJ = o.

Le nombre des racines auxquelles s'applique la remarque précédente étant /i + i au moins, le produit

est divisible par {n-h i) facteurs de la forme

( .r — x^Yi-v — X:, y . . .[x — x„ y{x — x„+, y ,

et comme ce produit est précisément de degré 2^+2, il est égal à une constante multipliée parle produit de ces facteurs, et l'on a

(7) {x'—/i:')[¥{xy—u] = c{x—x,Y{x — x,Y. ..{x — xn+^y.

Cette équation exige évidemment que jc= — h et jc = -h h soient l'un et l'autre au nombre des racines oc^yX^,..., ^„+f En supprimant les facteurs correspondants, l'équation (7) devient

(8) Yixy—]J={x'~fi')<f{xY,

■f{x)^=\/C{x X:^) {x Xi) . . {x X„+i ).

L'équation (8) donne

(9) [F {x) — 'f (x) s/x'—h'] [F (^) + <f{x)s/x'^ — h'] = V, et par suite

F{x) — :^{x)\Jx'—h'= 7=F'

¥[x)-h<f{^)\'^' — fi'

OU

?(-^) ^{x)[¥{x)-h<fi-r)^x-' — h']

La différence -j — — \J.t'- — h^ tend donc vers zéro lorsque x augmente, et, pour

de très-grandes valeurs dex, elle est de l'ordre -i^^ sachant d'ailleurs que les

deux termes de la fraction -^ étant deux polynômes entiers, l'un est de degré /i

et l'autre de degré n—i, cette condition suffit pour les déterminer l'un et l'autre ; il est impossible en effet que deux fractions différentes

dont les dénominateurs sont de degrés ^ et ^', aient, pour x intini, une différence infiniment petite d'ordre supérieur à celui de ~ Si donc (p {a:-} et<p, {x) étaient, l'un

etrautre,dedegrén— [, ladifférencedesdeux fractions serait, au plus, de l'ordre— ^, et il serait par conséquent impossible que toutes deux eussent avec yx^ — h^ une différence de même ordre que — ?— •

Le problème est donc ramené à trouver une fraction ~^, dont le numérateur soit de degré n, et le dénominateur de degré n- i,et dont la différence avec sl.r^-h' soit, pour une valeur infinie de x, un infiniment petit de même ordre que -^•

Pour résoudre ce problème, il faut réduire sjx^-h^ en fraction continue, et celle des réduites dont le numérateur est de degré n est la fraction cherchée qui, nous l'avons démontré, est unique.

Ona

\Jx*—I? = x —

donc

x-hs/x' — h' ■?.x-h{^x-'- — h' — x)

on en conclut

'XX -{-{y/x"— h^ — x)

■ix-^[\lx^ — li' — x)

et l'on a évidemment, en répétant la même transformation un nombre quelconque de fois,

sjx'' — II' — X = j-

"iX

\x-\- [\lx^ — /t' — x)'

LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Si l'on nomme j^, tt ' " " ' rf ' ^^^ réduites de la fraction continue

chaque réduite se déduisant comme on sait de deux précédentes, on a, en général.

et si, dans le calcul de^r^? on remplace 20: par 2X+ {\/jc^ —h^ — x-), c'est-à-dire

par o: 4- y/x^ — A-, la réduite deviendra la fraction terminée qui représente \.T-—h-'-, on a donc

P„ ( ^ + s/x'—ff) — A'P„,

En chassant les dénominateurs et transposant, cette équation peut s'écrire

P„ — Q„ ^^' — lv = {x— sjx^ — h'){ P«- . — Q«-. ^x^—lv); on en déduit, en remplaçant successivement n par 2, 1^, /|,...,

V, — (^,\Jx' — h' = {x — slx' — lv) (P, — Q,s/^'— A'j ,

On déduit de ces équations, en les multipliant membre à membre,

P„__Q„y/^r=T^^(^v/^^^:iÂ'^j"-'(p,-Q.v/^^ — AO- La première réduite ^ étant égale à ^ , on a enfin

p,, __ Q„ y/^riTÂ. = [x— s/x^'^^f?)" .

En changeant le signe de y^r'-AS ce qui est évidemment permis, puisqu une équation telle que la précédente exige l'égalité des parties rationnelles et des parties irrationnelles dans les deux membres, on aura

et par conséquent

(^ + y/^^ZT^^j" | [:jc — sj X' — llA"

La fraction y est la fraction cherchée ~}^ dont le numérateur est de deiïré n, et la différence avec y^' — h" d'ordre ^ lorsque ^ est infini. On a trouvé en effet

par conséquent

Or le dénominateur du second membre est évidemment comparable à .r^"-^', et le numérateur est constant, parce que les équations

* «+i — "iXi ,1 — Il Jr„i , ,

donnent

P«+, Qn — P„ Q„+, = A' ( Q„, P„ — P„, Q,J ,

et comme P, Q^ — P^Q, est indépendant de x, cette relation prouve que les différences analogues, relatives aux valeurs successives de n, le sont également. Le produit de ^ par un facteur constant étant la fraction cherchée, la valeur trouvée pour P„ représente le numérateur F(^), c'est-à-dire le polynôme qui, entre les limites — A et + A, s'écarte le moins possible de zéro, et la solution du problème proposé est

W est aisé de voir que les termes en yJjc-^ — h'' se détruisent dans la somme des deux développements, et qne¥ (jc) est, comme l'exige l'énoncé, un polynôme entier et rationnel de degré n. Pour que le coefficient du terme en x" soit l'unité, il faut donner à C la valeur -^, et l'on a enfin

[x-hs/x' — h^Y'-h ( X — y'x' —h')"

La valeur maxima que prend F (x) entre les limites —A et + A de la variable est atteinte, nous l'avons dit, pour jL = ±h; cette valeur est par conséquent égale

à — -, et tout autre polynôme de degré ti dont le premier terme est x" doit par conséquent sortir des limites ;ri *^t + ^, entre lesquelles F [x] reste compris.