LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

MM'

de courbure de celui-ci est par conséquent la limite du rapport -jy-- D'un autre

côté, si du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, on décrit un arc de cercle MP, on a

Or MP et MM' sont des infiniment petits du premier ordre; chacun de ces arcs diffère de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre, et la différence des cordes, moindre que M'P, est tout au plus du second ordre; MP et MM' peuvent donc être remplacés l'un par l'autre, et par conséquent la limite OM est égale au rayon de courbure.

Expression du rayon de courbure.

495. Soit / = 9 (•^') l'équation d'une courbe rapportée à des coordonnées rectangulaires : en nommant a l'angle formé par la tangente avec l'axe des X, on a

dr ^^"^^ = ^'

et par conséquent

a = arclang(^).

L'angle de deux tangentes infiniment voisines, que l'on nomme angle de contingence, est la différence des angles qu'elles forment avec l'axe des X; il a donc pour expression

l'dyX \dx ) iLx'

du = cl arc lang [j^] = JJ-T. = , dy

'+<^) '^\-tr

La courbure de la courbe au point considéré est, par définition, le rapport de l'angle da a l'arc correspondant ds : or on a

la courbure est donc égale à

d^ dx^

Td)

:>-2i\ PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

t't le rayon de courbure p, qui est l'inverse de la courbure, est par conséquent

dx'

Le cercle de courbure traverse la courbe.

496. Après avois prouvé (474) que les distances maxima et minima d'un point à une cour])e sont l'une et l'autre normales, nous avons cberché, sur une normale donnée, le point dont la distance à la courbe comptée sur cette normale n'est ni inaxima ni minima, et tel, par conséquent, que le cercle tangent à la courbe, et dont le point est le centre, soit intérieur d'un côté et extérieur de l'autre, traversant la courbe en même temps qu'il la touche. La distance d'un tel point à la courbe est précisément (474) le rayon de courbure dont nous venons de trouver l'expression, et par conséquent : le cercle de courbure traverse la courbe.

Il est facile de s'expliquer, à priori, pourquoi la courbe est traversée par son cercle de courbure. Le cercle et la courbe ont en effet même courbure au point qui leur est commun; mais, à partir de ce point, la courbure du cercle est constante, et celle de la courbe variable. C'est pour cela que les deux lignes se séparent; si la courbure de la courbe va en augmentant, celle-ci s'écarte de la tangente plus rapidement que le cercle auquel elle est par conséquent intérieure. Si au contraire la courbure va en diminuant, la courbe est extérieure au cercle. Or il est clair qu'à partir d'un point quelconque, la courbure augmente, lorsqu'on se déplace dans uji sens, et diminue lorsqu'on suit la direction opposée. La courbe est donc intérieure d'un côté et extérieure de l'autre à son cercle de courbure. Il y a exception pour les points où la courbure est maxima ou minima; de quelque côté qu'on s'en éloigne, en effet, la courbure varie dans le même sens, et par conséquent le cercle de courbure est, dans ce cas, intérieur ou extérieur à la courbe: c'est ce qui a lieu, par exemple, au sommet d'une ellipse; à l'extrémité du petit axe, la courbure est minima, et^le cercle de courbure est extérieur à la courbe; à l'extrémité du grand axe, au contraire, la courbure est maxima, et le cercle de courbure est intérieur; en tout autre point, le cercle de courbure traverse la courbe.

Diverses expressions du rayon de courbure.

497. Dans la formule trouvée pour expression du rayon de courbure, on a regardé l'abscisse x comme la variable indépendante. Pour s'affranchir de cette sup-

position il suffit (169) de remplacer -r^^ par

dx d ' r — dy d-x

LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES, et l'on a, par conséquent, quelle que soit la variable indépendante,

( d.z'' -+- dy^ y-

dx d ^r — dy d ^ x

Cette formule s'applique commodément lorsque les coordonnées x ety sont données en fonction d'une troisième variable.

498. Lorsque la variable indépendante est l'arc même de la courbe considérée, l'expression du rayon de courbure peut être transformée à l'aide de la formule

dx'' -^ dy- = ds-,

et de

dx d' X -h dy d'y := o ,

qui s'en déduit par la différentiation; nous avons donné (174) le détail de celte transformation qui conduit à la formule remarquable

ds'

Cette formule est susceptible d'une interprétation géométrique élégante et souvent utile.

A partir du point donné M portons, sur la courbe et sur la tangente, deux longueurs infiniment petites MM', MT, dont cr désigne la longueur commune. Les coordonnées du point M' sont, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

dx 1 d'^ X

ds 2 ds-

"^ ds- 2 ds'

celles du point T sont rigoureusement

on a, par conséquent,