LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
500. Le théorème précédent conduit à une expression analytique du rayon de courbure équivalente à celle que nous avons déjà obtenue, et quelquefois plus commode, parce qu'elle ne suppose pas l'équation de la courbe résolue par rapport à l'une des coordonnées. Soit cp {oo,y) = o l'équation d'une courbe. Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale au point M, dont les coordonnées actuelles sont x et y, et soient m, v, les coordonnées infiniment petites d'un point voisin de M; le rayon de courbure est, d'après ce que l'on vient de voir,
représenté par — ; pour le déterminer, remarquons qu'en nommant Q l'angle de
la tangente avec l'ancien axe des x, c'est-à-dire celui que forment les nouveaux axes avec les anciens, les coordonnées du point voisin de x, y, sont, dans le premier système,
x-{-ucosô — (^sin0, j + Msin 6 + f COS0,
et l'on a par conséquent
(,) cp (^-t-i<cos 9 — (^sinô, y-h iisinO -h ^ cosO) = o.
Le nouvel axe des x étant tangent à la courbe, si l'on considère u comme infiniment petit du premier ordre, ^ est infiniment petit du second ordre; nous devons donc, en développant le premier membre de (i) par le théorème de Taylor, conserver les termes du second ordre, carie facteur m% qui multiplie quelques-uns d'entre eux, est comparable au facteur v qui se trouve dans les termes du premier ordre. L'équation ( i ) peut donc être remplacée par
= ^II lu cos e — i> s\ne)+ -^ {u sin B-h^cos6) dx^ a y
, 1 r^ ( „ ces ô — t^sin 6P + 2 4-4- ( wcos Q— csin 6 ) ( wsin 6o.ydx- . dxdy
H- -j-^ (m sin ô -I- <' ces 9 )M • dr^ J
Le coefficient de u est nul, parce que l'on a
•t'COSf
dx
langO=-^^
dr
de plus, les termes en c- et en uv peuvent être supprimés comme infiniment petits du quatrième et du troisième ordre, et il reste
(3, n = -.(^.cos.-gsin0)+l„.(^^cos=0 + a^.sin.oos0 + ^sm=.),
et par conséquent
cos 0 7^ ;
dx
sin 0
dx^ '
cos' 9 H- 2
d' 0 . r. rs d'' 0
-j — 7- sin 0 cos 0 H — —- i dx dy dy-
on a,
d'ailleurs,
cos 9 =
sin6= —
dcfi dx
\drl
\dy)
et par conséquent
[dxj
\dr/ .,
^~~ âf'9 /t/9 dx'' \dx
Y d' ) 'dx
9 dcj) dcf dy dx dy
û?^9 (dc^y dy^ \dxj
Cette formule se déduirait aisément de celle qui a été donnée (490) et dont elle n'est qu'une transformation. Nous avons préféré la démontrer directement pour appeler l'attention sur un théorème souvent utile. La méthode précédente a d'ailleurs l'avantage de conduire à l'expression du rayon p, dans le cas où le point considéré
étant singulier, les dérivées — ^ -j- deviennent nulles (463), et la formule (4) est
illusoire.
Reprenons dans ce cas l'équation (i) en remarquant que l'on a, outre
(^■{x,y) = 0, -j^ =0, -^ = 0. Dans le développement du premier membre par le
théorème de Taylor, les termes du premier ordre sont nuls, ainsi que les termes en u^, dont le coefficient est précisément l'expression qu'il faut égaler à zéro pour obtenir (463) la direction de la tangente. Les termes de l'ordre le moins élevé, par rapport auxquels les autres sont négligeables, seront donc ici ceux qui contiennent le facteur uv et le facteur m^ et, par la suppression des autres, l'équation (i) pourra être réduite à la forme
(5) Puv-h^u' = o.
On en déduira donc
P et Q contenant l'angle 6 qui est connu, et les dérivées du second et du troisième ordre du premier membre de l'équation.
