LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. b

on en déduit, en différentiant,

dxd^x dr d\r

ds ds'^ ds ds'^

d'^xy (d^rV dx d' X dy d'-f __ ~d^) "^ \ J^j "^ ds ds' ^ ds ds' "'"'

et si, dans ces équations qui ont lieu pour toute valeur de s, on fait s=o, elles donnent, en ayant égard aux équations précédentes,

d\ry __ (d'x

Rappelons enfin la formule

I /d'xy /d\r

p' ~" [HF) "^ \ ds^

qui, pour ^ = o, devient, en vertu des précédentes,

I (d^y __ (d'x ^,~\ds^)~ \ds\

et ces équations permettent de résoudre facilement la question proposée et plusieurs autres analogues.

Le théorème deMaclaurin donne

^- i rfi^joTT^^e \ds'),^--~~ip.& \ds'

on en conclut

les termes que l'on n'écrit pas contenant en facteur la cinquième puissance de s. En nommant c la corde de l'arc s, cette équation peut s'écrire

I2po

et par conséquent

'' ''>'' XI plisse)

La somme s + c peut évidemment être remplacée par o.s, et l'on a enfin, pour expression de la partie principale de ^ — c,

24 Pa

Ou voit, comme cela est évident à priori, que pour une même longueur de l'arc, la différence avec la corde augmente avec la courbure.

518. Différence entre l'angle d'une corde avec la tangente et la moitié de T angle de contingence. — Y.n adoptant les notations du paragraphe précédent, l'angle formé

par la corde d'un arc avec l'axe desa?, qui le touche à son extrémité, a pour tangente - •

L'angle de contingence formé avec le même axe des x, par la tangente à l'autre

extrémité de l'arc, a pour tangente -r- •> la différence de deux angles infiniment

petits pouvant être remplacée par celle de leurs tangentes, la différence que nous voulons évaluer est

on a

dr

dx

2pa

' ldy\

\ ds' /,

dy

\ ds' ).,

s- i d\y\ S \ ds' ,

Il sutfit à notre but de conserver dans les développements les termes qui contiennent ^^ en facteur; à ce degré d'approximation, les dénominateurs peuvent être remplacés par l'unité, et l'on a

dy s dx 0

r ap, L^^ \ ds^ /„J