LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
En substituant dans l'équation (8) à /^,, A, et a leurs dérivées les valeurs déduites de ces formules, elle devient, après la suppression du dénominateur commun dy.^ dy.„
d'^x o"^}' dydx èrox
c'est-à-dire
(g) .x^yd''x^y''xo''y — xHlydx—y''Qy^xz:^o.
Les variables a,, a^, dont les accroissements constants ont déterminé la loi d'es()acement des courbes qui forment les rectangles, sont arbitraires. Cette loi est donc elle-même arbitraire : quels que soient en effet les accroissements successifs attribués à une variable, on peut trouver une nouvelle variable, fonction de la première, et dont les accroissements correspondants soient égaux entre eux. L'équation (9) exprime donc la loi générale qui régit les côtés des rectangles curvilignes infiniment petits que l'on peut juxtaposer sur un plan. Si l'on suppose quatre rec-
tangles contigus représentés sur la figure et formés par des lignes espacées de telle sorte que l'on ait PQ = QR, PP,=::P,Po, (?^ sera nul ainsi que ^[v, et l'équation 9; deviendra
(10) jr<y'.r -hJO^r = o•
Si l'on suppose cette équation exacte sous la condition d'égalité entre les côtés contigus des quatre rectangles auxquels elle se rapporte, elle entraîne l'équation plus générale dont on l'a déduite, et lui est par conséquent équivalente. Pour le démontrer, admettons en effet que cette équation (10) soit satisfaite pour quatre rectangles infiniment voisins, tels que ceux qui sont représentés dans la figure et sous la condition QR = PQ = ^, P^P, =P,P = j. Admettons que les courbes étant espacées autrement, on ait QR = a7 4- c?^, PoP, =y^dy. r/^ ^ et o'V changeront de valeur, et il est facile de calculer la variation de chacun d'eux. Si en effet P2Q2 est remplacé par une ligne du même système, coupant PP, à une distance dy du point P., l'augmentation qui en résulte pour P^Q^ est précisément la variation que subit d-x\ or la ligne PQ s'accroissant de dx, lorsque P se transporte en P, en parcourant une ligne égale à j, pour un déplacement égal à dy elle s'accroiira de
(Ix d)
--: par conséquent la nouvelle valeur àed'x est égale à l'ancienne qui figure dans l'équation fio), augmentée de —^ , et l'on doit, pour transformer cette équation, remplacer d'x par d' x - '!^ . On verra de même que ^^y doit être remplacé par c?V- ""^L, et l'équation ( lo) devient
xdxdy y 0X0}'
xd^x -h yo-y-
équivalente à l'équation (9).
La remarque que nous venons de faire pourrait être présentée sous une forme analytique et rattachée à la théorie du changement de la variable indépendante.
515. L'équation (9) peut être aisément vérifiée dans le cas où les lignes de l'un des systèmes sont droites; les lignes de l'autre système sont alors des courbes parallèles, et deux quelconques d'entre elles interceptent sur les droites qui leur sont normales des longueurs égales.
Considérons dans ce cas les trois rectangles contigus dont les côtés figurent dans Va formule: nous aurons
PP'=J-. or = o, d\y = o, ?,?, = ,• +-^,-, P,Q,=x-}-dx, P,Q: = x^^dx + d'x,
et l'équation devient
dx dy
d^ X dy
dx ~y
UVKE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTUIQUES. 5ol
ce qui est évidemment exact, car la longueur x étant proportionnelle à la distance au point 0, où se coupent les deux droites entre lesquelles elle est comprise, ses accroissements sont proportionnels aux variations de cette distance. Si donc à un déplacement/ du point P correspond la variation dx, à un second déplacement égal
à y + ffy correspondra la variation dx-] — ^-' et l'on a
, dy dx d'x =
On peut donner au même raisonnement une forme plus analytique en faisant usage de l'équation (8), équivalente au fond à celle que nous venons d'employer. Dans le cas qui nous occupe, la distance de deux courbes du premier système étant constante, ^ est indépendant de «a» et l'équation (8) se réduit à
d'-r d-r- dj-
doc' dXi d y.i
que l'on peut écrire
dx,
lu
Elle exprime que l -j-r ci l j- ont même dérivée par rapport à a,, et que par conséquent le rapport
Il 2
dx,
est indépendant de a, et reste constant pour une valeur donnée de a,. Pour traduire ce résultat géométriquement, considérons les deux droites voisines qui correspondent aux paramètres a,, a, 4-</a2; i^ est la longueur portée sur l'une d'elles, mesurant la distance des deux courbes qui la coupent a angle droit. La dis-
dx,
tance des deux droites au point considéré est — ' > et par conséquent proportionnelle à .^ ; dire que le rapport (A) est constant, c'est dire, ce qui évidemment est
552 PRExMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
exact, que l'accroissement de distance des droites est proportionnel au déplacement subi, dans le sens de leur longueur, par le point où l'on mesure cette distance.
Expression approchée de quelques grandeurs infiniment petites.
516. L'étude d'un arc infiniment petit pris sur une courbe serait aussi difficile <iue celle d'un arc fini, et la variété des résultats, dissemblables avec les définitions particulières des courbes considérées, ne laisserait pas même entrevoir la possibilité d'une théorie générale, si dans le calcul des grandeurs à déterminer on s'imposait l'obligation de ne rien négliger. On sait au contraire que dans le calcul d'une grandeur infiniment petite on peut, sans inconvénient, négliger une portion infiniment petite de sa valeur; lorsque par conséquent nous cherchons l'expression d'un infiniment petit du premier ordre, nous négligerons ceux du second; dans le calcul d'un infiniment petit du second ordre, on négligera ceux du troisième, et ainsi de suite. On peut d'ailleurs, dans le calcul d'une même grandeur, recourir successivement à ces divers degrés d'approximation. Après avoir calculé en effet la valeur approchée qui peut remplacer une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, et que l'on nomme ^2i partie principale, on peut se proposer d'évaluer l'erreur commise dans le premier résultat; elle est en général du second ordre, et dans son expression on négligera les infiniment petits du troisième ordre; mais, après l'avoir trouvée, on peut chercher une expression de l'erreur qui subsiste encore, et continuer indéfiniment en formant les termes successifs d'un développement indéfini qui seul représenterait exactement la quantité inconnue. C'est précisément là, nous l'avons vu (277), ce que l'on fait en développant une fonction par le théorème de Taylor.
517. Différence entre un arc infiniment petit et sa corde — La différence entre un arc et sa corde est infiniment petite du troisième ordre; nous allons en chercher l'expression en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre, ou, ce qui évidemment revient au même, former le premier terme de son développement en série ordonnée suivant les puissances de l'arc.
Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale à l'une des extrémités de l'arc considéré. En considérant la longueur s de l'arc comme variable indépendante, dont les coordonnées x et y sont deux fonctions, on a, pour s=^o,
dy\ [ dx\
de plus, pour un point quelconque.
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