LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

enroulé sur sa développée, et qui se déroule en conservant l'autre extrémité fixe. Soit en effet la courbe PP'P"P", et sa développée AA' A" A'". Supposons un fil dont une

extrémité soit fixée en k'", et qui, enroulé d'abord sur l'arc A'" A" A' A, se dirige, à partir de A, suivant la tangente à la développée pour se terminer en P sur la développante. Si ce fil se développe sans changer de longueur, de telle sorte que, quand la partie enroulée diminue, la partie rectiligne augmente d'autant, leur somme restant constante, la partie courbe étant égale à l'arc que nous appelions c, la partie rectiligne sera constamment égale au rayon de courbure R, et par conséquent l'extrémité du fil parcourra la courbe PP'P", dont A A' A" est la développée.

525. Cette manière de tracer la développante diW moyen de la développée, montre clairement pourquoi le cercle osculateur traverse en général la courbe au point où il la touche.

Reprenons en effet la figure précédente et considérons trois positions voisines du fil, dont l'extrémité décrit la courbe PP'P"; on a, d'après la définition même du mouvement du fil,

AA'-hAP=:A'P',

A'P' est par conséquent plus long que la distance rectiligne du point A' au point P, en sorte que ce point est en dedans du cercle décrit de A' comme centre, avec A'P' pour rayon. On a aussi

Mais A"P" est plus petit que AT" augmenté dexV'A"; donc A'P" est plus grand

que A'P', et le point P" est en dehors du cercle décrit de A' comme centre avec