LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

La détermination analytique de la développée, en partant de l'équation de la

eycloide, est facile, et nous ne nous y arrêterons pas; nous nous bornerons à indiquer

un moyen élégant d'y parvenir à l'aide d'un système de coordonnées utilement

adopté pour la solution de quelques problèmes.

530. Une courbe, dans ce système, est caractérisée par la relation qui lie le rayon de courbure à l'angle formé par la normale avec une direction fixe. Le passage de telles équations à celles auxquelles nous sommes plus babitUés, exigerait la solution d'un problème de calcul intégral, que nous ne pouvons aborder ici. Bornons-nous à montrer immédiatement qu'une courbe est déterminée quand on connaît, pour cbaque direction de la normale, le rayon de courbure correspondant. Si l'on porte en effet son attention sur l'arc compris entre deux normales de directions données, on connaîtra, pour cbaque direction intermédiaire, la longueur de l'arc correspondant de la développée, et, pour déterminer celui-ci, il faudra résoudre le problème suivant : courber un fil de longueur connue, de telle façon que la direction de cbaque élément soit assignée a l'avance. La solution est évidemment unique quand on se donne l'origine, et les courbes relatives à des origines différentes sont superposables. La développée étant déterminée, la courbe primitive l'est également, car le rayon de courbure en cbaque point étant connu, on saura la longueur qu'il faut porter sur cbaque tangente à la développée, pour avoir le point correspondant delà développante.

En nommant cp l'angle formé par la normale à la eycloide avec la base, et a le rayon du cercle générateur, l'expression du rayon de courbure est

p = 4«cos Cp,

l'angle de contingence de la développée est ^9, l'arc intinimenl petit correspondant est dp; le rayon de courbure p' de celle-ci est donc

dp .