V- =4 « sm

acp ^

D'ailleurs, en nommant 9' l'angle formé par la normale à la développée avec le même axe ,

et par conséquent

La développée a donc la même équation que la eycloide et lui est par conséquent égale.

531. Appliquons la même métbodeàrépicycloïde. D'après l'équation trouvée (506)

pour le rayon de courbure de l'épicycloïde, on voit aisément qu'en nommant 9 l'angle formé par la normale avec le rayon du cercle fixe dirigé vers l'origine de l'épicycloïde, on a

0 = a sin m o;

a et 7ti étant des constantes, on en conclut que le rayon p' de la développée, tou-

jours éffal à -r^ ? est

p' = ma cosmo,

et si l'on nomme'/ l'angle formé avec le même axe par la normale à la développée,

ou en posant

ma ces m { 9' ) ,

"M~ — 9'j = '- — mo,,

ce qui revient à faire tourner l'axe, de l'angle

p = ma sin mo,

Pour déduire cette équation de la proposée, il suffit de multiplier par un facteur constant l'expression du rayon de courbure, et il est aisé de voir que c'est précisément ce qu'il faudrait faire pour obtenir l'équation d'une courbe semblable. La développée de l'épicycloïde est donc une épicycloïde semblable, le rapport de similitude est m, et l'angle formé par les lignes bomologues dans les deux

figures,

532. Développée de la spirale logarithmique. — L'équation de la spirale logaritlimique en coordonnées polaires est

Le rayon de courbure a (504) pour expression

il en résulte, comme on le voit aisément, que le centre de courbure se trouve sur la perpendiculaire élevée par le pôle au rayon vecteur. Si donc r' et 0' sont les coordonnées du centre de courbure, on a

r' =:\Jp' — r^ = mae'"^;