LIVRE TROISIHME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ^ifiO

tant les nouveaux axes restera donc de l'ordre p, et la démonstration supposanl seulement que les angles du triangle NN'N" aient une valeur finie, elle ne sera en défaut que si l'une des directions adoptées pour l'axe des Y est parallèle h la tangente commune des deux courbes, qui est k limite de N'N".

535. On peut montrer, indépendamment des considérations géométriques qui précèdent, que l'ordre du contact est indépendant de la direction des axes de coordonnées. Si, en effet, après avoir rapporté les deux courbes à des axes X, Y, on change de coordonnées, et que l'on adopte des axes nouveaux X', Y', les coordonnées nouvelles x',y' seront des fonctions connues de x et de y. Or les dérivées de j' par rapport à a?' peuvent s'exprimer (173) en fonction de celles de j par rapport a a?,

et l'expression de -r^^ ne contient pas de dérivées d'ordre plus élevé que/i, et par

conséquent deux courbes, pour lesquelles l'ordonnée et ses n premières dérivées par l'apport à l'abscisse ont les mêmes valeurs en un point, présenteront aussi le même caractère par rapport aux axes nouveaux.

Il est utile de remarquer que, dans le cas où le contact est d'ordre pair, la différence des ordonnées, étant proportionnelle à une puissance impaire de h, change de signe avec A. Il en résulte que chacune des courbes traverse l'autre en même temps qu'elle la touche, étant située au-dessus d'elle d'un côté du point de contact, et au-dessous de l'autre côté. Lorsque le contact est d'ordre impair, la différence des ordonnées a au contraire un signe invariable dans le voisinage du point de contact, et les deux courbes se touchent sans se pénétrer mutuellement.

536. On doit toujours exclure des considérations précédentes le cas où l'axe des y est parallèle a la tangente commune aux courbes considérées. Dans ce cas, les dérivées deviennent toutes infinies, et la règle qui fait dépendre l'ordre du contact du nombre de celles qui prennent la même valeur ne peut plus être appliquée. Le théorème relatif à l'ordre de la distance infiniment petite des deux courbes comp- , tées sur une parallèle à l'axe des j ne doit pas non plus être appliqué, il conduirait à un résultat inexact. Nous allons chercher, d'une manière précise, quelle serait l'erreur commise en procédant à la manière ordinaire et sans se préoccuper des raisons pour lesquelles cette direction de l'axe des Y a été exclue dans le raisonnement.

Soient KM la tangente commune parallèle à l'axe des Y, et MK l'ordonnée de son point de contact M. Prenons sur l'axe desX une distance infiniment petite KK' = //, et cherchons, en supposant entre les courbes un contact de l'ordre /^, quel est l'ordre de grandeur de la ligne NN' interceptée entre les deux courbes sur l'ordonnée du point K'. Si l'on suppose que le point M ne soit pas un point singulier, et que la courbure ne soit ni nulle ni infinie, la corde MN fait avec l'axe des Y un L 72

570 PREiMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

angle infiniment petit de même ordre que la longueur de la corde, le produit de

cette corde par le sinus de l'angle est égal à h, et par conséquent la corde et l'angle

sont l'un et l'autre de même ordre que A-. Si donc par le point N on mène une droite NN" parallèle à l'axe des X et terminée à la courbe MM', la longueur de cette

droite est de même ordre que \h'^) ; mais dans le triangle NN'N", on a

NN" = NN'iangNN'N",

et comme NN'N" est de même ordre que A^, il faut que NN' soit d'ordre A^, et par

conséquent l'ordre du contact serait considéré comme égal à i.

Un contact de quatrième ordre évalué de cette manière semblerait du premier ordre seulement.

On pourrait encore considérer comme infiniment petit du premier ordre l'arc MN,

et non pas sa projection sur l'axe des X; cet infiniment petit étant comparable à //-, NN' est par rapport à lui de l'ordre n, et l'on doit dire, conformément à l'énoncé général (533), que les courbe^ ont un contact d'ordre n— i ; mais c'est assez insister sur les contradictions auxquelles peuvent conduire ces considérations que l'on doit absolument rejeter.

537. Pour évaluer l'ordre du contact de deux courbes, on peut d'ailleurs les rapporter à des coordonnées quelconques. Quel que soit le système adopté, on peut appliquer les mêmes considérations et prouver que deux courbes exprimées par des équations entre deux variables u et v, fonctions quelconques de x et de y, ont un contact de l'ordre n lorsque, pour une même valeur de u, v et ses n premières dérivées sont respectivement égaux pour l'une et l'autre courbe. On sait en effet que les dérivées de v par rapport à u, et celles de y par rapport à x,

, sont liées les unes aux autres, de telle sorte que, les unes étant connues, on peut calculer les autres sans introduire jamais de dérivées d'ordre supérieur à celles que l'on veut former. Lors donc que deux courbes ont un contact de l'ordre n, les valeurs de j et celles de ses n premières dérivées, étant égales dans les deux courbes pour une même valeur de x, il en sera de même de ç et de ses dérivées pour la valeur correspondante dew; réciproquement, si les valeurs de ç sont les mêmes de part et d'autre, ainsi que celles des n premières dérivées, y et les dérivées de y par rapport à x seront aussi les mêmes pour les deux courbes, et il y a contact de l'ordre n.

538. Tout ce que nous avons dit sur l'ordre de contact des courbes suppose la possibilité du développement en série des ordonnées voisines de l'ordonnée corn-