CONTACTS DE DIFFERENTS ORDRES

Définition de H ordre du contact.

533. Lorsque deux courbes ont un point commun correspondant à une abscisses, si leurs équations sont mises sous la forme

les ordonnées sont égales pour x = a, et l'on a

9 (rt) = •!(«).

Pour un point voisin du point commun, et ayant pour abscisse a-rh, les ordonnées sont différentes, leur différence o {a-\-h) — ^{a-hh) représente l'écartement des deux courbes; or on a, par le théorème de Taylor,

et par conséquent, en ayant égard à l'équation o {a) = ^i^ [a],

Lorsque '/(«j — ^' {a) n'est pas nul, la différence des ordonnées est de même ordre que h, c'est-à-dire infiniment petite du premier ordre. Si (p' {a) — ij>' {a) est nul, la différence des ordonnées est infiniment petite du second ordre : en général, si pour X = a les p premières dérivées de la fonction 9 sont égales aux dérivées correspondantes de ij;, la différence (p{a-\-h)— ^{a-^h) contiendra A^-*-' en facteur, et sera infiniment petite d'ordre /? + 1 . On dit alors que les deux courbes ont un contact d'ordre/?.

La tangente étant déterminée parla dérivée de l'ordonnée, et le rayon de courbure par les deux premières dérivées, on voit que deux courbes ont un contact du premier ordre quand elles ont même tangente, et un contact du second ordre lorsqu'elles ont en même temps même rayon de courbure.

534. L'ordre du contact de deux courbes est indépendant de la direction des axes des coordonnées, pourvu que l'axe des 7 ne soit pas parallèle à la tangente commune des deux courbes.

Soient en effet MS, MS' deux courbes rapportées aux axes OX, OY, et ayant en M un contact d'ordre/?. MK étant l'ordonnée du point M, si l'on mène une paral-

lèle à l'axe des Y, par un point K' situé à une distance infiniment petite N du point K', la portion NN' de cette parallèle, comprise entre les deux courbes, est infiniment petite de même ordre que h''^*; les tangentes aux courbes considérées n'étant pas parallèles à l'axe des Y, h est de même ordre que chacun des arcs MN, MN', et par conséquent notre définition de l'ordre du contact revient à dire que deux courbes ont en M un contact d'ordre p, lorsque, prenant sur l'une d'elles, à partir de M, un arc de longueur 7, la distance dé l'extrémité de cet arc à l'autre courbe, comptée sur une parallèle à l'axe des Y, est de même ordre que a^^'. Or si Lon change la direction de l'axe des Y, <7 restant le même, la ligne NN' sera remplacée par une autre ligne NN" qui est de même ordre qu'elle, car elles font partie d'un triangle NN'N", dont les angles sont finis; l'ordre du contact évalué en adop-