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donnée sans démonstration par Newton, peut être considérée indifféremment comme provenant de la série

dans laquelle on suppose x = i , ou de

sin 3 X sin 5 x

sJt. ( sin^

où l'on suppose .r := -• Elle appartient ainsi à deux théories très-différentes, et pourrait d'ailleurs se déduire de beaucoup d'autres.

PRÉFACE. xxxvii

Les ouvrages et les Mémoires d'Euler contiennent ini grand noml)re de sommations de ce genre, que nous sommes bien loin de reproduire toutes; c'est dans son Introduction à l'étude de l'analyse infinitésimale et dans la collection des Mémoires de Saint-Pétersbourg qu'il convient de les étudier.

Malgré l'importance de la série de Taylor, il est souvent plus siuiple d'obtenir les termes du développement qu'elle devrait fournir, en employiut d'autres méthodes dont le Chapitre III du second Livre fournit des exemples. On y a placé d'abord plusieurs démonstrations d'une formule générale due à Lagrange, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de « la racine z d'une équation quelconque, mise préalablement sous la forme

Cette belle formule a été l'objet de nombreux travaux, et d'habiles géomètres ont différé d'opinion sur le caractère distinctif de la rachie qu'elle fournit. Ces questions seront discutées plus tard. Dans ce Chapitre nous nous bornerons à donner sur ce point quelques indications fort simples. F^a formule de Lagrange donne comme corollaire deux autres formules dignes d'intérêt, qui sont dues à Burmann et à Abel.

La méthode des coefficients indéterminés est très-souvent la plus commode à employer pour obtenir les termes d'un développement dont la légitimité a été démontrée ; nous donnons plusieurs exemples de son application, en signalant de remarquables séries dues à M. Tchébychef. La théorie des fonctions génératrices, créée par Laplace, quelques remarques sur les notations symboliques, et une digression sur les fonctions désignées par X„et sur les nombres de Bernoulli, terminent le Chapitre, qui n'a pas d'autre unité que l'absence du théorème de Taylor dans l'étude de séries qui pourraient s'en déduire.

Le Chapitre IV contient la définition des fonctions imaginaires. Les points principaux qui y sont traités ont été indiqués plus haut à l'occasion du théorème de Taylor.

Le Chapitre V est consacré au développement des fonctions de plusieurs variables ; il contient l'extension à ce cas de la formule de Taylor et de celle de Lagrange.

xxxMii PRÉFACE.

Le Chapitre VI fait connaître le développement de quelques fonctions sous forme de produits infinis ; les formules fondamentales dont se déduisent la plupart des autres sont celles qui donnent les expressions de sin x et cos x, et qui s'appliquent aux valeurs réelles ou imaginaires de la variable; elles sont dues à Kuler, qui, peu rigoureux dans leur démonstration et dans l'étude de leurs consécpiences, en a déduit cependant im très-grand nombre de résultats exacts et importants, qu'une analyse irréprochable a confirmés depuis.

1 iCS développements sous forme de fractions continues sont étudiés dans le Chapitre \ II, oii se trouvent indiquées les formules les plus remarquables obtenues siu^ ce sujet par Euler, Lambert, Lagrange et Gauss ; ces développements peuvent d'ailleurs varier beaucoup pour une même fonction, et leur importance, si grande en Arithmétique, est beaucoup moindre en Analyse, parce que la condition de n'admettre que des dénominateurs entiers, qui entraîne les plus belles propriétés de ces fractions, est ici supprimée sans que rien vienne la remplacer.

Les principes de la théorie des résidus, créée par Cauchy, sont exposés dans le Chapitre VIII. L'illustre géomètre a remarqué que dans un grand nombre de prol^lèmes où figurent des fonctions qui passent par une valeur infinie, la partie importante à considérer, celle qui le plus souvent détermine seule le résultat, n'est pas, comme toutes les analogies sembleraient l'indiquer, la partie principale, c'est-à-dire la fonction simple, dont pour des valeurs voisines la différence avec la fonction est infiniment petite i^elativement à chacune d'elles, mais une certaine fraction dont le dénominateur est toujours du premier degré, dont Cauchy a désigné le numérateur sous le jiom de résida, et dont il a fait dans presque toutes les parties de la science d'élégantes et utiles applications.

Le second Livre est enfin terminé par deux Chapitres relatifs aux valeurs singulières des fonctions et aux questions de maximum et minimum. On a du les placer après l'étude des séries sur l'emploi desquelles sont fondées la plus grande partie des méthodes et des démonstrations qui y sont exposées.

L'application du calcul infinitésimal à la théorie des courbes et des surfaces fait l'objet du troisième Livre. La généralité des résultats quis'y trouvent exposés est presque toujours absolue, et presque tous les théorèmes sont indépendants de la définition spéciale de la courbe ou de la surface à laquelle

PRÉFACE. xxxix

ils se rapportent. Descartes, Fermât, Pascal, Iliiygliens, Roberval, et (jnel- ([iies autres, auraient sans doute résolu sans le secours du nouveau calcul chacune des questions auxquelles on l'appliqua d'abord ; mais la force et la beauté de l'idée nouvelle consistent précisément à supprimer toute distinction entre les fonctions que l'on étudie ou entre les lieux qu'elles servent à représenter. En réunissant dans les mômes recherches les courbes mécaniques et les courbes géométriques exclusivement considérées par Descartes, Leibuit/ détruisit une barrière nuisible au progrès de la science, en même temps f{u'il annonçait le premier l'existence de lois générales applicables à la variation de toutes les grandeurs continues; et si les résultats les plus merveilleux auxquels cette voie peut conduire sont restés inconnus aux inventeurs du calcul différentiel, on ne peut leur refuser l'honneur d'y avoir incontestablement failles premiers pas.

On doit ajouter que cette généralité dans les résultats, (jui fait l'importance du calcul différentiel, en fait aussi la simplicité. Si l'étude individuelle des courbes et des surfaces est facilitée, comme celle des fonctions particulières, parla connaissance des lois communes à tous les cas, elle exige cependant, il faut le reconnaître, avec une force d'invention tout aussi grande, des procédés d'investigation incomparablement plus variés, et notre admiration pour les grands génies qui ont ouvert les voies nouvelles ne doit pas faire priser moins haut les travaux de ceux qui persévérèrent dans l'ancienne' route ou dimimier l'importance qui s'attache à leurs découvertes.

Le premier Chapitre de ce troisième Livre est consacré à l'étude de la courbure des lignes planes et à la théorie des développées, qui y est liée trop intimement pour qu'on doive les séparer. L'illustre Huyghens, inventeur de la seconde de ces théories, ne paraît pas cependant avoir eu nettement la notion de la courbure ; il ne l'a pas du moins formulée exphcitement. Leibnitz et Newton y ont été conduits les premiers par des voies différentes. C'est dans les Acta Eradltorum de 1G86 que Leibnitz donna le premier la définition du cercle osculateur, en expliquant l'importance qu'on y doit attacher dans l'étude des courbes. « Dans chaque portion infiniment petite d'une combe, on peut considérer, dit-il, comme on l'a fait jusqu'ici, non-seulement la direction, mais la variation de cette direction, c'est-à-dire la flexion [flcxitra); et de même que pour indiquer la direction on fait usage de la

XL PRÉFACE

li^iie la plus simple possible qui est la ligne droite, je mesure la flexion d'une courbe par la ligne la plus simple qui ait non-seulement même direction, mais encore même courbure qu'elle, c'est-à-dire par le cercle qui non-seulement la touche, mais lui est oscillateur. La ligne droite, dont la direction est toujours la même, est très-propre à indiquer une direction; de même le cercle est très-propre à indiquer la courbure, parce que la courbure d'un cercle est la même en tous ses points. Le cercle osculateur d'une courbe en un point est celui qui forme avec elle le plus petit angle de contact; parmi le nom) )re infini des cercles qui touchent une courbe en un point, on peut, en effet, toujours en assigner un qui s'y assimile mieux que tous les autres, et rampe, pour ainsi dire, davantage vers elle, de sorte qu'aucun autre cercle ne puisse être placé entre eux. »

TiC passage précédent est extrait d'une Note fort courte de Leibnitz, extrêmement curieuse à plus d'un titre. On y voit un exemple de la manière dont ce puissant esprit approfondissait tout en paraissant tout effleurer. 11 avait aperçu très-nettement, quoiqu'il l'exprime sous une forme peu précise, la théorie de l' oscillation et des contacts de divers ordres; mais ici, comme eu bien d'autres circonstances, il se contente d'avoir donné les germes d'une théorie nouvelie, laissant à d'autres le soin de les faire fructifier. Les indications qu'il donne sur la manière de trouver le cercle osculateur sont nonseulement très-vagues, mais absolument inexactes, car il se trompe sur le noml)re des rachies égales que l'on doit trouver lorsque l'on cherche l'intersection d'une courbe avec son cercle oscillateur. On peut conclure de cette inadvertance que l'exemple choisi par lui, qui est celui d'une section conique considérée à son sommet, est le seul qu'il ait traité jusqu'au bout; s'il en eût essayé un autre, il aurait certainement reconnu que trois points seulement d'intersection et non pas quatre viennent se confondre en un seul. Plusieurs de ces indications, quoique exactes quand on les interprète comme il faut, manquent peut-être d'une base précise, et l'on comprend, en lisant de pareils écrits, que la doctrine qu'ils renferment restât inabordable au commun des lecteurs.

Jacques Bernoulli, reprenant quelques années après l'exposition des mêmes principes, signala l'inadvertance de Leibnitz, relative au nombre des points d'intersection d'une courbe avec son cercle osculateur; mais, malgré

PRÉFACE. Ml

l'évidence des explications (\u\ lui furent données à plusieurs reprises, Leibnitz revint sur le même sujet et n'al)andonna c[uefort tard sa première assertion.

Puiscru'il ne prononce pas le nom d'Huyghens, l^eibnitz ne paraît pas avoir apercn immédiatement l'intime relation de sa théorie nonvelle avec celle des développées; mais, dans une lettre écrite cinq années plus tard, il dit à IJuy^hens : « Les centres des cercles mesnrant la conrbnre tombent dans votre génération par évolution. » Huyghens répondit : « Xons me parlez de votre discours: Deangulo contactus et osculi^ ([u'il me sonvient d'avoir lu et qni ne me paraît pas nonveau, parce qne j'avais considéré ces sortes de contact dans mon Traité de l'évolution des courbes, et même longtemps auparavant. » — « Je crois bien, répond Leibnitz, que vous aviez vu le cercle qui se décrit du point de la courbe évolue, et dont le rayon est la moindre droite qu'on peut mener de ce point à la courbe décrite; mais peut-être n'aviez-vous pas songé à le considérer comme la mesure de la courbure, et moi, lorsque j'avais considéré le plus grand cercle qui touche la courbe intérieurement, je ne m'étais pas avisé de songer aux évolutions. « Newton de son côté, dans le livre des Principes publié en 1G87, fait un usage continuel de la théorie du rayon de courbure, et montre une pleine connaissance de la relation qui lie cette théorie à celle des développées.

Le Chapitre est terminé par l'étude de systèmes de coordonnées curvilignes sur un plan et la démonstration de formules remarquables dues à ]\L Lamé, qui, après avoir créé cette théorie, lui a consacré un ouvrage qui semble avoir bien peu laissé à faire à ceux qui voudraient l'accroître on la simphfier. Nous signalons particulièrement la relation remarquable qni lie les rayons de courbure des courbes orthogonales avec leurs dérivées prises par rapport aux arcs normaux, formule très-élégante, qui contient implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesc[uels un plan est décomposé par deux séries de courbes orthogonales : chaque rectangle en particulier est évidemment arbitraire; mais les côtés successifs ont entre eux des relations nécessaires qui changeraient si les courbes étaient situées sur une autre surface, et qui ne sont les mêmes que pour deux surfaces applicables l'une sur l'autre.

L'étude des lignes tracées sur la sphère est le but du second Cha- I. /

XLii PRÉFACE.

pitre ; on y considère un élément signalé par Euler sous le nom de courbure sphérique, et présenté comme fournissant la généralisation naturelle de la notion de courbure des lignes planes. Les travaux des géomètres modernes ont étendu la généralisation aux lignes tracées sur une surface quelconque et augmenté par là l'importance des théorèmes très-simples que nous démontrons dans le cas des courbes spliériques. L'extension des belles formules de M. Lamé au cas d'un système de lignes se coupant à angle droit sur la sphère doit être particulièrement signalée.

Le troisième Chapitre est consacré aux lignes à double courbure. Sans nous occuper particulièrement d'aucune courbe, nous donnons, comme pour les courbes planes, les propriétés qui leur sont communes à toutes; elles sont pour la plupart des conséquences de la loi de continuité, mais le \\ei\ qui les y rattache est caché : des yeux très-exercés et attentifs peuvent seuls l'apercevoir. Toute courbe a en chaque point un plan osculateur, un cercle osculateur dont l'axe, intersection de deux plans normaux infiniment voisins, est la génératrice d'une surface développable, ayant pour arête de rel)roussement le lieu des centres des sphères osculatrices.

Le plan osculateur a été pour la première fois considéré par Jean Bernoulli, qui, en l'introduisant dans la solution d'un problème de Géométrie, a indiqué très-suffisamment le moyen de le déterminer. Mais ces considérations paraissent avoir fort peu attiré l'attention avant le beau Mémoire où Monge a pour la première fois exposé la théorie générale des développées, et qui forme la base de nos connaissances générales sur les courbes à double courbure. C'est laque pour la première fois se trouve indiquée la surface développable qui contient les développées et son arête de rebroussement lieu des centres des sphères osculatrices. 11 a montré également que le lieu des centres de courbure n'est pas une développée, et rendu facile la solution de tous les problèmes résolus dans ce troisième Chapitre.

La théorie générale des surfaces, telle qu'elle est exposée dans les Chapitres V, VI et VU, est renfermée presque entièrement dans le Mémoire d'Euler sur la courbure des sections normales, et dans les écrits oii Monge a fait connaître l'existence et les propriétés des lignes de courbure. Ces propriétés si simples et si admirables par leur généralité ne pouvaient tarder à devenir classi(pies et en quelque sorte élémentaires. Rien n'est plus utile à

PRÉFACE. xi.in

la clarté d'une tliéorie que son introduction dans renseignement régulier. Les efforts successifs des maîtres, et souvent aussi ceux des élèves, en s'exerçant sur toutes leurs conséquences, approfondissant les difficultés incidentes sans laisser aucun point inexploré, réduisent peu à peu à des termes d'une extrême évidence les propositions qui, énoncées pour la première fois par leurs inventeurs, ont pu sembler les plus merveilleuses et les plus inattendues. Parmi les travaux qui ont le plus contribué à atteindre ce but, on doit citer au premier rang l'ingénieuse théorie de l'indicatrice, à l'aide de laquelle M. Dupin a si heureusement relié entre eux les résultats d'Euler et de Monge. Citons aussi, parmi les progrès importants qui restaient à faire après les travaux de ces deux grands génies, le théorème capital relatif aux surfaces orthogonales, découvert aussi par M. Dupin, et auquel les études de M. Lamé ont ajouté depuis tant d'importance. N'oublions pas enfin le beau théorème de Malus sur les rayons lumineux, complété par M. Dupin et démontré par lui pour la première fois dans toute sa généralité.

Les prennères recherches de Monge sur la théorie des surfaces sont consignées dans un Mémoire dont le titre semble annoncer des études toutes différentes. C'est, en effet, dans son Mémoire sur les déblais et remblais qu'il donne pour la première fois la condition pour que des droites soient normales à une même surface et que se trouve démontrée, pour une surface quelconque, l'existence des hgnes de courbure. Une singularité de ce Mémoire doit être signalée : il semble par son titre complètement étranger à la théorie des surfaces ; il est intitulé en effet : Mémoire sur la théorie des déblais et remblais . La question qui s'y trouve traitée est curieuse, mais elle est résolue, il faut l'avouer, par des considérations tellement peu rigoureuses, qu'il est permis de conserver des doutes sur l'exactitude même des conclusions. C'est sous forme de lemme destiné à faciliter l'étude de cette théorie incomplète et sans importance, que Monge a produit une de ses plus belles découvertes.

Le dernier Chapitre de ce volume traite des lignes tracées sur une surîiice quelconque ; les résultats principaux en sont empruntés à l'un des plus beaux et des plus célèbres Mémoires de Gauss. Ils sont relatifs à la déformation des surfaces suivant une loi telle, que la longueur des lignes qui y sont tracées reste sans altération. Dans une telle déformation , le produit des rayons de

\i.iv PRÉFACE.

courbure reste invariable en chaque point; mais la réciproque n'est pas exacte, et les points d'une surface peuvent correspondre un à un à ceux d'une autre surface, de telle sorte que le produit des rayons de courbure soit le même aux points correspondants, sans que pour cela les lignes correspondantes aient la même longueur; d'autres conditions sont nécessaires poui- (jue deux siu^faces soient applicables l'une sur l'autre ; leur étude successivement perfectionnée par plusieurs géomètres habiles, a conduit à une méthode très-simple qui permet de décider si deux surfaces sont applicables l'iuie sur l'autre, sajis sortir des limites du calcul différentiel.

I^e même Chapitre contient enfin (quelques résultats remarquables relatifs à l'élément nommé par M. Liouville courbure géodésique, et qui joue daus l'étude des lignes tracées sur une surface un rôle tout analogue à celui de la coiu bure dans l'étude des lignes planes.

Fel est le résumé succinct des vingt-six Chapitres qui composent ce premier volume ; il y reste d'importantes lacunes et des imperfections nom- J)reuses que je ne me dissimule pas. En comparant ce que j'ai pu faire avec Je plan que je m'étais tracé, je sais mieux que personne combien je suis resté loin du but que j'aurais voulu atteindre. Je voudrais pouvoir offrir aux jeunes géomètres le moyen d'étudier les travaux des maîtres delà science sans être jamais arrêtés par l'ignorance des principes sur lesquels ils reposent ; mais un tel programme s'étendrait presque sans limites, et j'ai dû me borner, dans la mesm^e de mes forces et de mon érudition, à aplanir pour eux les premiers pas. On peut faire beaucoup mieux sans doute, mais sans parvenir, j'en ai la conviction, à surmonter toutes les difficultés. Peut-être même aurait-on tort de le regretter; rien ne peut suppléer à l'étude directe des grands maîtres, et en aidant les jeunes gens à s'en affranchir trop longtemps, il pourrait arriver qu'en facilitant leurs études, on retardât chez eux, pour bien longtemps peut-être, le développement de l'esprit d'invention.