LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOxMÉTRlQUES. ^"'"i

Lorsque, le ravon de la sphère étant infini, la courbe devient plane, cet angle 0 est égal à la courbure totale de l'arc MM'; mais en général ces angles sont inégaux, et nous allons d'abord déterminer leur rapport.

JVIenons par les points M et M' deux arcs de grand cercle MI, M'I, tangents à l'arc MM', et se rencontrant en I; le quadrilatère MIM'O, étant formé par quatre arcs de grand cercle, a pour mesure le produit du carré du rayon de la sphère par l'excès de la somme de ses ansles sur quatre droits, c'est-à-dire, en nommant s la courbure totale de MM', R^' (0 — s) ; or ce même quadrilatère peut être remplacé, si on néglige les infiniment petits du second ordre, par la surface comprise entre les arcs OM, OM' et le petit cercle décrit de 0 comme pôle avec OM pour rayon

sphérique ; elle est égale par conséquent au produit de — par la surface de la

zone à une base dont elle fait partie, c'est-à-dire, à

nous avons donc

d'où l'on déduit

la courbure

0— £ = 0 fi —

1 — ces

= ces

cos