LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

nommons S l'arc MM, compté sur la courbe MA à partir du point M, et j la distance

du point M, à l'arc MT comptée sur l'arc de grand cercle M, P perpendiculaire à MT.

Il est facile de voir que l'angle MM, P, formé par M,P avec l'arc MM, , a pour

cosinus 4^ • Soit en effet M' un point situé sur la courbe MA, à une distance inti-

ds

niment petite de M, que nous nommerons ds, et soit W^^'=y-hdy l'arc de grand cercle analogue à M, P, et correspondant au point M'^ ; menons par le point M, un arc de petit cercle M, K parallèle à PP': on aura xM'^ K = ^y, et le triangle M, M'.K, qui peut être considéré comme rectiligne, donnera

(0 cosM.M'.K=^^-.

Cela posé, supposons le point M, infiniment voisin de M, et menons l'arc de grand cercle M, I tangent à MM,, et coupant en I l'arc MT; le triangle sphérique IM, P, donne, en nommant £ l'angle en I, qui est l'angle de contingence de l'arc MM,,

CCS PMJ = sin e cosIP ;

cos IP différant infiniment peu de l'unité, on peut écrire, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier,

cosPM.I = sin £,

c'est-à-dire, à cause de l'équation ( i ), et en remplaçant le sinus par l'arc,

^' = £; ds ^

mais en nommant - la courbure géodésique de la ligne MA au point M, on a, en

désignant par s l'arc MM, ,

. ÇJ S

et par conséquent

ds p

La valeur principale de la dérivée -f étant -» celle deyest (549) — et l'on a par conséquent, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second,

Enjoignant le point M au point M, par un arc de grand cercle que nous nomme-

rons la corde de MM,, on forme un triangle sphérique MM.P, dans lequel on a

sinM.P

c'est-à-dîre, en remplaçant les sinus infiniment petits par les arcs,