LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. rm

D'ailleurs la surface OMIM' est égale, eu uégligeant les infiniment petits du second ordre, à la surface comprise entre les arcs OM, OM' et le petit cercle décril de 0 comme pôle avec un rayon sphérique OM, égal 'àO; on a donc

et pai' consécjucnt,

(5) i= d'h cos 0 ^

,-Hsi„..|^-[

la courbure Trirr,'» que nous désignerons par - -, est par conséquent

d '\i cos Q -f- • ^^ -~

, + sm-6(^

\JdB^-^dY?,m'Q c'est-à-dire, en développant les calculs, et chassant les dénominateurs,

, .cos9 J + sm^ecos0^^)+sin0J

['-^--mi

547. Si l'on prend pour pôle le point M de la courbe considérée, et que l'arc fixe à partir duquel se compte l'angle (]> soit tangent à MM', on aura 0 = o, et cette hypothèse, introduite dans la formule (7), la réduit à

L'interprétation géométrique de ce résultat est importante.

d^ est, en effet, l'angle formé par l'arc du grand cercle qui sert de corde à l'arc MM', avec la tangente à l'une de ses extrémités, et dô est cette corde elle-même que l'on peut, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, remplacer par l'arc MM'; la comparaison de la formule (8) avec l'équation

p MM' qui résulte de la définition, donne, par conséquent,

t = -?.d'li , et par conséquent :

S80 PREMIÈRE l'ARTIE. - CALCUL DIFFÉREMIEf..

Dons une courbe sphérique quelconque, l'angle formé par la corde d'un arc intiniment petit MM', avec l'arc de grand cercle tangent à l'une de ses extrémités, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la moitié de l'angle de contingence formé par les arcs de grand cercle tangents aux deux extrémités M et M'.

548. Il est bien entendu, comme nous l'avons expliqué plusieurs fois, qu'en calculant une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, nous regardons les infiniment petits d'ordre supérieur comme négligeables.

Si (p(.x) désigne, par exemple, une fonction de oc qui, lorsque a; est infiniment

petit du premier ordre, soit infiniment petite d'ordre n, et que le rapport "^^ ait

pour limite une constante A, nous dirons que a? étant infiniment petit, la valeur de cp(a') est A,i"; mais pour éviter toute confusion nous rappellerons que les infiniment petits d'ordre supérieur ani été négligés, en nommant, avec M. 0. Bonnet, cette expression A^", la valeur principale de © (a?). En adoptant cette dénomination, le tbéorème démontré (45) peut s'énoncer de la manière suivante :

Si une fonction (pioo), infiniment petite avec x, a pour valeur principale xKx", A étant une constante, la dérivée f' [x] a pour valeur principale nAx"-\

549. La réciproque de ce théorème est exacte: si la dérivée 9' [x] est infiniment petite avec x, et a pour valeur principale n\x"-\ A étant une constante, la foncùon(p{x), si elle est aussi infiniment petite avec x, a pour valeur princi[)ale Ax".

Posons, en effet,

£ étant, lorsque x est infiniment petit, infiniment petit par rapport au premier terme du second membre. 9 [x] est (115) l'aire comprise entre l'axe des x, l'ordonnée qui correspond à l'abscisse x, et la courbe dont l'ordonnée est 9' (x). Or, en négligeant le terme z, on ne supprime, par hypothèse, qu'une portion infiniment petite de cette ordonnée, et l'aire qui représente ^p (x) n'est, par conséquent, altérée que d'une portion infiniment petite de sa valeur: elle devient alors égale à la fonction qui, étant nulle avec x, a pour dérivée nAx"~\ c'est-à-dire à A^", et par conséquent la valeur principale de cp [x] est Ax".

550. Revenons à la théorie des courbes sphériques : soit MA une courbe quelconque tracée sur une sphère, et MT l'arc de grand cercle qui la touche en M;