LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. nK

gences, correspondant à l'arc ^; 2sin^ ^ V peut être, par conséquent, remplacé

par g , c'est-à-dire, en nommant - la courbure géodésique en M, par ^,. la dérivée

de la différence ^ — c a donc pour partie principale ^^, et par conséquent ^549) la

partie principale de ^y — c est -^,- Cette expression est, on le voit, toute semblable

à celle que nous avons trouvée pour les courbes planes, et montre par un nouvel exemple la parfaite analogie des deux théories.

552. Différence entre un arc infiniment petit et la somme des tangentes menées à ses extrémités. — Soient AB l'arc considéré, et I l'interseotion des arcs de grand cercle (jui le touchent en A et en B.

Évaluons d'abord l'excès de AI + IB sur la corde AB, en le réduisant toujours, bien entendu, à la partie principale.

Dans le triangle sphérique AIB, on a, en nommant A l'angle infiniment petit dont le sommet est en A,

sin-(AI-hIB — AB)sin -(AB + BI — Ai;

(i) sin - A

2 y sin AB sin Al

Remplaçons sin ^ A par l'arc infiniment petit -A, et dans le secon<l membre, réduisons chaque facteur infiniment petit à sa partie principale; sin - (Al + IB — AB) doit être remplacé par - (AI + IB — AB), moitié de la différence que nous voulons évaluer, et sin - (AB-+-BI — AI) par - (AB + Bl — AI), ou plus simplement par -AB, car la différence BI — AI est infiniment petite du second ordre: sin AB et

sin AI peuvent être remplacés de même par AB et Al, et l'on a