LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

554. Nous commencerons par établir quelques lemmes relatifs a la variation de grandeur d'un arc de grand cercle. Lorsque l'une des extrémités d'un arc de grand cercle AB se déplace infiniment peu sur la sphère, la variation de longueur qui en résulte est égale au produit de l'arc infiniment petit qu'elle a parcouru par le cosinus de l'angle formé par la direction qu'elle a suivie avec celle de l'arc de grand cercle considéré.

Soient en effet AB un arc de grand cercle de longueur finie, et BB' le déplacement infiniment petit de l'extrémité B; du point A comme pôle, avec AB' pour rayon sphérique, décrivons un arc de petit cercle qui coupe AB en P. L'accroissement de longueur que reçoit AB en devenant AB', est PB, et l'on a, dans le triangle infiniment petit PAB', que l'on peut considérer comme rectiligne,

PB = BB' cos PBB' = — BB' ( os B' BA ,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Lorsque les deux extrémités de l'arc AB se déplacent en même temps, la variation de l'arc est la somme des variations qui résulteraient de chaque déplacement effectué séparément.

Supposons en effet que l'arc AB devienne A'B'; joignons A'B: on a, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

A'B — AB = — ÂÂ'cosA'AB, A'B — A'B' =rr — BB' CCS BB' A' ,

et par conséquent

A'B' — AB = BB' CCS BB' A' — A A' ces A' AB ;

l'angle BB'A' diffère infiniment peu du supplément de B'B A, et l'on a enfin, en négligeant toujours des infiniment petits du second ordre,

A'B' - AB =rz — BB' cos B'BA — AA' cos A' AB = BB' ces ( BB', AB ) -h AA'cos( AA', BA ).

Lorsque l'arc de grand cercle est constamment normal à la courbe parcourue par

une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité.

contenant en facteur le cosinus d'un angle droit, est égal à zéro, et l'accroissement infiniment petit de la longueur se réduit à un seul terme. Si l'arc considéré est normal à chaque instant aux deux courbes décrites par les extrémités, sa variation est constamment nulle, et il est par conséquent de longueur constante. Ainsi donc: si deux courbes sphériques coupent orthogonalement une série continue d'arcs de grands cercles, situés d'une manière quelconque sur la sphère, les portions de ces arcs interceptées entre les deux courbes sont toutes égales entre elles.

Lorsqu'un arc de grand cercle, en se déplaçant sur la sphère, reste constamment tangent à la courbe parcourue par l'une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contenant en facteur le cosinus d'un angle nul, se réduit au déplacement lui-même, c'est-à-dire à l'arc infiniment petit de la courbe à laquelle l'arc considéré reste tangent.

555. D'après les lemmes précédents, les raisonnements qui nous ont fait connaître (22) la longueur d'un arc de développée de courbe plane peuvent s'appliquer, mot pour mot, à la développée sphérique d'une courbe sphérique. Soient, en

effet, MN une courbe sphérique, et PQ sa développée. L'extrémité M de l'arc MP parcourant la développante, l'extrémité P se mouvant en même temps de manière à occuper le point correspondant de la développée, chaque accroissement infiniment petit de cet arc sera égal à l'arc correspondant de la développée, et l'accroissement total, lorsque de MP il devient NQ, est égal à l'arc PQ, comme on l'avait annoncé.

Courbure des trajectoires orthogonales sur la sphère.

556. Un système de courbes tracées sur la sphère, et se succédant suivant une loi continue, peut être représenté par une équation entre les deux coordonnées sphériques et un paramètre arbitraire. Pour chaque valeur du paramètre, l'équation représente en effet une courbe déterminée qui se déplace et se déforme infiniment peu lorsque celui-ci reçoit un accroissement infiniment petit.

A un système de courbes sphériques en correspond toujours un second formé de lignes qui coupent les premières à angle droit; leur équation générale renfermera