LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

La considération de l'indicatrice sphôrique rend ce théorème pour ainsi dire évident. L'angle d'une droite et d'un plan est en effet la distance du point de la sphère qui représente la droite, au grand cercle qui représente le plan, et le théorème énoncé revient à dire, par conséquent, que le grand cercle tangent en un point de l'indicatrice sphérique est à distance infiniment petite du second ordre du point infiniment voisin de l'indicatrice.

508. 11 résulte évidemment du théorème précédent que l'intersection d'un plan osculateur avec une tangente infiniment voisine est, à la limite, le point de contact de la tangente; considérons, en effet, le plan osculateur en un point M, et la tangente au point M' infiniment voisine de M; IMM' étant du premier ordre, la distance M'P du point M' au plan osculateur en M est un infiniment petit d'ordre supérieur au second. Or en nommant ô l'angle de cette tangente avec le plan oscu-

i égaie a

par conséqueiit', infiniment petite, puisque 0 est du second ordre

ateur,la distance au pointM', deson intersection avec ce plan, est ésjaleà , et

569. La tangente d'une courbe à double courbure est la limite de l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins.

Chaque plan osculateur étant en effet représenté sur la sphère; par un grand cercle tangent à l'indicatrice sphérique, l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins est représentée par l'intersection de deux grands cercles tangents en deux points infiniment voisins de l'indicatrice, c'est-à-dire, à la limite, par le point môme de l'indicatrice. L'intersection des deux plans osculateurs a donc pour direction limite celle de la tangente de la courbe, et comme elle passe par le point d'intersection de l'un des plans avec- la tangente contenue dans l'autre, qui d'après le paragraphe précédent se confond à la limite avec le point de contact de celle-ci, la tangente et l'intersection limite des plans osculateurs, sont des droites parallèles qui ont un point commun, et qui, par conséquent, se confondent.

570. Chaque point d'une courbe à double courbure est la limite de l'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins.

Il semble, au premier abord, que ce théorème peut être considéré comme une conséquence immédiate des deux précédents.

L'intersection de trois plans osculateurs intiniment voisins peut être en effet considérée comme l'intersection de l'un d'entre eux avec la droite d'intersection des deux autres, qui (569) est une tangente à la courbe, et dont l'intersection avec le plan osculateur voisin se confond, à la limite, avec son point de contact.

Mais un tel raisonnement manque absolument de rigueur.

L'intersection de deux plaiis osculateurs n'est pas, en effet, une tangente à la

courbe, mais une droite qui a pour limite la tangente; lors donc que, dans le raisonnement précédent, nous considérons l'intersection de deux plans osculateurs comme tangente à la courbe, nous la remplaçons par sa limite, en lui faisant subir un déplacement infiniment petit. Or quand il s'agit de déterminer l'intersection de deux droites infiniment voisines, un cbangement infiniment petit dans la position de l'une d'elles peut déplacer d'une quantité finie, ou quelquefois même faire disparaître entièrement son intersection avec l'autre.

Il faut donc démontrer directement que l'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins est un point de la courbe.

La considération de l'indicatrice sphérique montre, tout d'abord, que l'intersection de deux d'entre eux forme avec le troisième un angle infiniment petit du second ordre. Cela revient à dire, en effet, que trois grands cercles touchant l'indicatrice sphérique en des points infiniment voisins, l'intersection de deux d'entre eux est a distance infiniment petite du second ordre du troisième.

Lorsqu'une droite forme avec un plan un angle infiniment petit du second ordre, un point de cette droite dont la distance au plan est infiniment petit d'ordre supérieur au second est, nécessairement, à une distance infiniment petite de l'intersection de la droite et du plan. Or le point commun aux trois plans osculateurs est l'intersection du troisième de ces plans avec la droite suivant laquelle se coupent les' deux premiers; si donc nous trouvons sur cette droite un point dont la distance au troisième plan osculateur soit infiniment petite du troisième ordre, il sera infiniment voisin du point commun aux trois plans osculateurs avec lequel il se confondra à la limite. L'intersection du premier plan osculateur avec la tangente contenue dans le second est précisément un point qui remplit cette condition. Il appartient en effet à l'intersection des deux premiers plans osculateurs, et la distance au troisième est un infiniment petit d'ordre supérieur au second, parce que ce point est situé sur la tangente qui le contient à distance infiniment petite du point de contact, et par conséquent aussi à une distance infiniment petite de son intersection avec le troisième plan osculateur qui forme avec elle un angle infiniment petit du second ordre. Ce point, qui se confond à la limite, avec l'intersection des trois plans osculateurs, se confond aussi, évidemment, avec le poinfoù ils touchent la courbe, et la coïncidence de ces points, à la limite, se trouve ainsi démontrée.

Surface enveloppe des plans osculateurs.

571. Les plans osculateurs d'une courbe à double courbure enveloppent une surface développable qui est le lieu de leurs intersections successives, et comme, d'après les théorèmes précédents, l'intersection de deux plans osculateurs infini-