LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

ment voisins est une tangente, nous pouvons conclure que le lieu des tangentes à une courbe à double courbure est une surface développable, dont les plans tangents sont les plans osculateurs de celle-ci.

Lorsque des droites se succèdent dans l'espace suivant une loi continue, elles forment en général une surface réglée qui n'est pas développable, et dont le plan tangent n'est pas le même tout le long d'une génératrice. Il résulte de ce qui précède que de telles droites ne sont pas, en général, tangentes à une même courbe, et n'ont pas de courbe envtloppe. Il y a donc une condition nécessaire pour que des droites qui se succèdent suivant une loi donnée soient tangentes à une même courbe, et nous devons étudier cette condition qui est de grande importance.

La géométrie nous apprend, tout d'abord, que si des droites sont tangentes à une même courbe, la plus courte distance de chacune d'elles à la droite infiniment voisine est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, l'infiniment petit du premier ordre étant, bien entendu, la variation du paramètre dont la valeur définit chaque droite.

Si, en effet, les droites solit tangentes à une même courbe, le point de contact de l'une d'elles avec la courbe a, pour chaque valeur de paramètre en question, une position déterminée. La distance de deux points de contact infiniment voisins est donc de même ordre (4) que la différence des paramètres correspondants, c'est-à-dire du premier ordre, et la plus courte distance de deux tangentes, plus petite que la distance de l'une d'elles au point de contact de l'autre, est, évidemment, infiniment petite par rapport à la distance de leurs points de contact, et, par conséquent, d'ordre supérieur au premier.

Réciproquement, pour que des droites soient tangentes à une même courbe, il suffit que la plus courte distance de chacune d'elles à la droite infiniment voisine soit un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. Considérons, en effet, sur chaque droite, le point où se mesure sa plus courte distance avec la droite infiniment voisine: le lieu de ces points est une courbe, et la distance de deux d'entre eux, OetO', situés sur des droites infiniment voisines, A et A', est de même ordre (4) que la différence des paramètres relatifs à ces droites, c'est-à-dire du premier. (]ette distancé est par conséquent infiniment grande par rapport à la perpendiculaire abaissée de l'un de ces points sur la droite qui passe par l'autre, car, par hypothèse, cette perpendiculaire mesure la plus courte distance qui est infiniment petite d'ordre supérieur au premier. Il en résulte que la droite 00' forme des angles infiniment petits avec chacune des droites A et A', et ces droites sont, par conséquent, tangentes à la courbe lieu des points 0 et 0',

572. Lorsque des droites sont données par leurs équations, on peut exprimer facilement, sans faire intervenir l'expression de leur plus courte distance, qu'elles sont tangentes à une même courbe.

60i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Soient

x = az -]~ p,

y =bz + q

les équations d'une droite mobile, a, h, p, q étant des fonctions données d'un même paramètre a; si cette droite est constamment tangente à une courbe, les coordonnées du point de contact étant désignées par x,y, z, devront satisfaire, nonseulement aux équations (i), mais encore à celles de l^droite infiniment voisine, si l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second. Une tangente passe, en effet, à distance infiniment petite du second ordre du point de contact de la tangente infiniment voisine. On a donc

y —[h -^ dh) z -\- q^ dq, et par conséquent, à cause des équations (i),

o = zda -h dn, o = zdh -j- dq.

Il semble que les équations (3), d'après la.manière dont elles sont démontrées, ne doivent être satisfaites qu'à la condition de négliger les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, mais cela ne peut avoir lieu sans qu'elles soient rigoureusement exactes, a, b, p, q, étant, en effet, des fonctions du paramètre a, da, db, dp, dq, sont proportionnels à c?a, et, en supprimant ce facteur, on obtiendra des équations entre quantités finies dont les deux membres ne peuvent différer infiniment peu sans être rigoureusement égaux.

Les équations (3), pour être compatibles, exigent

(4) • da^dp^

dh dq

Si cette condition est remplie, on peut satisfaire aux équations (i) et (3), et trouver, sur cbaque droite, un point dont la distance à la droite voisine soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier. Le lieu de ces points est évidemment une courbe tangente à toutes les droites données.

573. Il suffit, d'après ce qui précède, que, dans un système de droites, la plus courte distance de deux droites voisines soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier, pour que les droites soient tangentes à une même courbe ; mais on doit à 31. Bouquet la remarque curieuse que cette plus courte distance est toujours précisément du troisième ordre, et qu'il est impossible qu'elle soit du second.