CHAPITRE lY

LES DEUX COURBURES 1) UNE COURBE, LE CERCLE OSCULATEUR ET LA SPHÈRE OSCULATRICE.

Définition de la courbure.

578. La courbure d'un arc de courbe est l'angle des tangentes extrêmes. La courbure moyenne est le rapport de la courbure totale à la longueur de l'arc, et la courbure, en un point, est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit compté sur la courbe a partir de ce point. Ces définitions sont absolument les mêmes que pour les courbes planes; on doit remarquer seulement que, dans le cas de la courbe a double courbure, les tangentes extrêmes d'un arc ne se rencontrent pas, et que leur angle est l'angle formé par deux droites parallèles à leurs directions et menées par un point quelconque de l'espace. L'angle infiniment petit de deux tangentes infiniment voisines se nomme angle de contingence, comme dans le cas des courbes planes, et la courbure est le rapport de l'angle de contingence à l'arc infiniment petit qui lui correspond. L'angle étant un nombre abstrait, la courbure peut

être représentée par l'inverse d'une ligne - : cette ligne p est le rayon du cercle dont la courbure est égale à celle de la courbe au point considéré : on le nomme rayon (le courbure.

579. Lorsqu'une droite se déplace suivant une loi quelconque, et dételle manière que chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée à un paramètre variable, l'angle de deux positions infiniment voisines (6) est de même ordre que la variation de ce paramètre. Si la droite considérée est la tangente à une courbe, les coordonnées du point de contact peuvent évidemment s'exprimer en fonction du paramètre qui la détermine, et la distance de deux points de contact infiniment voisins est, par conséquent, de même ordre que les variations de ce paramètre. L'angle des tangentes et la distance de leurs points de contact sont, d'après cela, des infiniment petits de même ordre, et la courbure, qui est leur rapport, a en chaque point une valeur finie. Les points pour lesquels elle est nulle ou infinie sont exceptionnels, et ne peuvent jamais former un arc continu. Une ligne dont la courbure est nulle en chaque point est droite, et il est impossible que la courbure soit infinie en chaque point d'une ligne sans que celle-ci se réduise à un point.

Définition de la seconde courbure.

580. Le rapport de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins à l'arc qui sépare leurs points de contact se nomme seconde courbure d'une courbe à double courbure. De même que la première courbure indique le plus ou moins de différence avec la forme rectiligne, la seconde courbure indique, pour ainsi dire, par la variation plus ou moins rapide du plan osculateur, la rapidité avec laquelle la courbe s'éloigne d'être plane.

Lorsqu'un plan se déplace suivant une loi quelconque, et de telle manière que chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée à un paramètre variable, l'angle de deux positions infiniment voisines est de même ordre que la variation de ce paramètre. Ce théorème, démontré pour une droite (6), s'applique évidemment au plan qui lui est perpendiculaire, et dont deux positions quelconques font un angle égal à celui de leurs deux normales. Si le plan considéré est le plan osculateur à une courbe, les coordonnées du point de contact sont évidemment des fonctions déterminées du paramètre qui détermine le plan, et la distance de deux points de contact infiniment voisins est par conséquent de même ordre que la variation du paramètre. L'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins est, d'après cela, de même ordre que la distance de leurs points de contact, et la seconde courbure a, en chaque point, une valeur finie. Les points pour lesquels elle est nulle ou infinie sont exceptionnels et ne peuvent former un arc continu que dans le cas d'une courbe plane dont les plans osculateurs se confondent, ou d'une ligne droite pour laquelle ils sont indéterminés.

Rapport des deux courbures .

581. Le rapport des deux courbures d'une courbe en un point est égal à la courbure géodésique de l'indicatrice sphérique. Soient, en effet, IM et ^^' deux points infiniment voisins d'une courbe à double courbure; PetP' les points correspondants de son indicatrice sphérique (566). L'arc PP' mesure l'angle de contingence formé par les tangentes aux points M et M'; les grands cercles qui touchent en P etP' l'indicatrice sphérique ont (566) leurs plans parallèles aux plans osculateurs en M et M', et leur angle est égal, par conséquent, à celui des plans osculateurs infiniment voisins de la courbe proposée. La courbure géodésique de la courbe indicatrice en P est le rapport de l'angle des deux grands cercles tangents en P et en P' à l'arc qui sépare leurs points de contact, c'est-à-dire le rapport de l'angle formé par les plans osculateurs de la courbe proposée aux points M et iM', à l'angle de contingence formé par les tangentes aux mêmes points, et c'est évidemment le rapport de la seconde courbure à la première. Pour que le rapport des deux courbures d'une courbe soit constant, il faut que la courbure de l'indicatrice