LIVRE TROISIÈ^Œ. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. G

c'esl-îi-dire à cause de (i j,

c'est précisément ce que nous devions trouver.

57(). Cherchons, pour seconde application, le plan osculateur d'une hélice. Nous entendons par hélice une courbe tracée sur un cylindre et qui, dans le développement de celui-ci, se transforme en une ligne droite. Quelle que soit la section droite du cylindre, elle se transforme dans le développement en une ligne droite à laquelle toutes les génératrices sont perpendiculaires, et le point de départ de l'hélice étant pris sur cette section droite, les coordonnées de la transformée, comptées sur les génératrices, seront évidemment proportionnelles aux abscisses comptées sur la section droite, c'est-à-dire aux arcs de celle-ci, qui se terminent à leur pied. Si donc on nomme s l'arc de section droite, et que^J.e^'lîoordonnées x et j de ses points, par rapport à deux axes pris dans son plan, soient exprimées par les équations

en prenant l'axe des 2 parallèle aux génératrice^ d^u c^i^kidre, et nommant z l'ordonnée du point de l'hélice projeté sur le point x\y- de la section droite, on aura

( 2 ) z ^ ms ,

m étant une constante égale à la cotangente de l'angle sous lequel l'hélice coupe les génératrices. Les fonctions 9 et tj^ ne sont pas quelconques, on doit avoir

(3) dx' -{- df' = i/s\ et par conséquent

Si l'on prend s pour variable indépendante, les équations (i)et(2) permettent de former immédiatement les coefficients de l'équation du plan osculateur. On a

dx=i o' [s] ds, df==;y{s)ds,

dz =: 1)1 ds,

d^x :=z>" {s)ds\

d^j^=Y{s)ds\

et l'équation du plan osculateur est par conséquent, en supprimant le facteur ^5%

(G) [l — x] m Y {s)- {il — r) m Y (s) + {i^—z)[Y (•«)'/ [s)— o'{s)Y{s}] ^ o. 1. .^

11 est aisé de voir que ce plan contient la normale au cylindre et coupe par conséquent celui-ci a angle droit. La normale du cylindre est parallèle en effet à la normale correspondante de la section droite, et forme par conséquent avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

— 'Y {s), ■ 9'(.s), el o;

les cosinus des angles formés avec les mêmes axes par la normale au plan représenté par l'équation (6), sont

Yis), -v"(5), [.y (.)o"(. )-'/(. )-y'(^)j,

et la condition deperpendicularilé,

est une conséquence évidente de l'équation (4).

577. Des considérations géométriques conduisent aisément à la même conclusion. Les tangente^ de l'hélice faisant un angle constant avec les génératrices du cylindre, leurs parallèles menées par un même point forment un cône de révolution, et l'indicatrice sphérique d'une hélice, quelle que soit la base du cylindre sur lequel elle est tracée, est un petit cercle de la sphère. Les plans osculateurs sont parallèles ( 566 j à ceux des grands cercles tangents à l'indicatrice, et par conséquent aux plans tangents du cône de révolution dont ce petit cercle est la base, et qui a pour sommet le centre de la sphère. Or le plan tangent à un cône de révolution est perpendiculaire au plan méridien passant par l'axe du cône et par la génératrice correspondante, et par suite au plan passant par la génératrice du cylindre, parallèle à l'axe du cône, el par la tangente à l'hélice parallèle à la génératrice du cône, c'est-à-dire enfin, au plan tangent au cylindre; le plan osculateur, étant perpendiculaire au plan tangent du cylindre, contient la normale de celui-ci.