LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Soient a, /3, 7, les angles formés avec les axes par la tangente en un point M, et « -f- doL, [i + r//3, 7 + ^7, les angles analogues correspondants au point voisin M'. Menons, par l'origine 0 des coordonnées, des parallèles à ces deux directions, et portons sur chacune d'elles une longueur égale à l'unité. En joignant les extrémités T etT' de ces longueurs, on obtiendra un triangle isocèle OTT', dans lequel l'angle au sommet 0 est égal à l'angle de contingence e, que nous voulons calculer, et l'on a, par conséquent,

TT'=2sin -

£ étant infiniment petit, le sinus peut être remplacé par l'arc, et la distance IT est égale par conséquent à l'angle de contingence. Les coordonnées du point T sont cos«, cos^, cos 7, et celles du point T', égales à ces mêmes cosinus augmentés de leurs différentielles; on a, par conséquent,

TT' = ( J cos a )= + ( f/ cos p)' -1- ( <:/ cos 7 )■

et ^

£ = TT' = v^(^/cosa)^4- (c^cos[3)-' + (rfcosyf.

Cette expression est d'ailleurs applicable, évidemment, à l'angle formé par deux droites infiniment voisines quelconques, formant avec les axes des angles y., j3, 7, a -h da, [i -h d^, 7 + dy.

La courbure - est, par définition, le rapport de l'angle s à l'arc infiniment petit correspondant ds, et l'on a par conséquent

I /dcosxY fdcosôy /f/cosy (' ~

ds J^ \ ds I ~^ \ d

Si l'on nomme x, y, z les coordonnées du point considéré sur la courbe, et s la longueur de l'arc compté à partir d'une origine fixe quelconque, les cosinus des angles formés par la tangente avec les axes ont pour expression.

dx dy dz ds ds ds

et la formule ( 1 ) donne par conséquent

, dxV- Ts)

d.'^jt] id:^\ [d

d.rV i^ dz

ds ; \ ' ds

^^^ p^~ ds^- '^~ ~~7ls^ ^ ds^

Si l'on prend l'arc s pour variable indépendante, on a

' ds d' X ^ ' ds d' y ' ds li^

■ ~~di' ~ ~ds'' ' '~dr ~ Is" ' ds' " ds' '

I (d^xy /d'y-y (d-zy

^^^ p' \ds' J ' \ds'J ' V ^*'

Si l'on veut laisser la variable indépendante indéterminée, il faut écrire

, dx

' ds dsd'x — dx d'-s ds </*'

et par conséquent,

I (dsd'x — dxd's)'- -T-{dsd^r — dyd-s)' -^{dsd^z — dzd's)'^

Celte expression peut se transformer à l'aide de l'équation

(5) dx-^dr'+dz'' — ds\ dont on déduit, par la différentiation,

(6) dxd'x-+- dyd-y-^dzd-z — dsd's.

L'équation (4) peut s'écrire

T ds'[{d\ry+[d\rY-i-(j/'zy]+{d'sy{dx'-hdr'-hdz']—Q.dsd-s{dxd'x-\-d)-d\r+dzd'z)

et, a cause des équations (5; et (6),

I {d'xY-h{ d\rY + ( d^zY — {dHy

ou, ce qui revient au même,

I ( dx' 4- </v' + dz' )\{d'xY + { d'rY + ( d'zy] — ( dxd'x^dyd'y + dz d-z'f

c'est-à-dire

I [drd' z — dzd-yf -^{dzd' X — dxd' zy + {dxd\r— dy d'xY

ds'

585. La formule (3) peut s'interpréter d'une manière élégante. Soient/r, y, ^ les coordonnées d'un point M delà courbe que nous regardons comme des fonctions de l'arc s, compté à partir d'une origine arbitraire. Le point voisin correspondant à l'arc ^ -(- ^.v aura pour coordonnées, en négligeant les infiniment petits d'ordre