X-j- -r-c/s-\ j— ds

as 2 as'

dy , i dW , '

ds 1 ds^

dz , I d^z ,

z-{- -—ds-\ y- ds\

as 9. cw

Si Ton porte sur la tangente en M, à partir du point M, une longueur MT égale

à ds, les coordonnées du point T sont, rigoureusement,

dx j . dr j dz ,

et, par conséquent,

on en conclut, d'après la formule (3) du paragraphe précédent,

P ds^

Là différence entre l'arc infiniment petit MM' et sa corde étant du troisième ordre, dans le triangle TMM', la différence des côtés MT, M' M est du troisième ordre, et infiniment petite par conséquent, par rapport à la base M'T qui est du second. On en conclut bien aisément que l'angle M'TM diffère infiniment peu d'un droit, et que M'T peut être remplacé par la distance du point M' à la tangente MT; on peut en même temps substituer à l'arc ds la ligne MM', et l'équation (2; devient alors entièrement semblable à celle qui a été démontrée (499), pour les courbes planes.

586. Le même théorème peut être présenté sous une forme différente, dont nous aurons à faire usage. La distance de l'une des extrémités d'un arc infiniment

petite, à la tangente passant par l'autre extrémité, est représentée par — , p désignant le rayon de courbure de l'arc.

Normale principale.

587. La normale qui, partant d'un point d'une courbe, passe par le centre (lu cercle • osculaleurse nomme la normale principale. Les équations d'une courbe étant données, il est aisé de déterminer, en chaque point, la direction de la normale principale. Le problème est en quelque sorte résolu à l'avance par les formules qui donnent les équations du plan normal et du plan osculateur, dont la normale principale est l'intersection. Nous allons chercher cependant l'expression des cosinus des angles formés par cette normale avec les axes.

Soient M et M' deux points voisins d'une courbe, nommons s l'arc compté à partir d'une origine arbitraire et se terminant e\\M\ s-^ds l'arc qui se termine en M'; ds que nous regardons comme positif désignant, par conséquent, l'arc MM'. Par l'origine des coordonnées, menons deux droites OP, OP', chacune de longueur égale à l'unité, et parallèles aux tangentes en M et M'; la droite PF est parallèle à la normale principale : le triangle OPP' étant en effet isocèle, et l'angle 0 infiniment petit, PP' est perpendiculaire à OP, c'est-à-dire à la direction de la tangente; de plus, le plan POP' qui la contient étant parallèle à deux tangentes infiniment voisines est parallèle au plan osculateur: une ligne perpendiculaire à la tangente, dans un plan parallèle au plan osculateur, est évidemment parallèle à la normale principale.

Les coordonnées du point P sont les cosinus des angles formés par la tangente en M avec les axes de coordonnées; en les nommant cos a, cos/3, cos 7, celles du point P' sont

cos a -h c? cos a: , cos [3 + (/cos [3, cosy + (/cosy. Les cosinus des angles /, [i, v formés avec les axes par la direction PP', sont

d cos a

cos >,

cos iJ.

v(</cosa:

((/cos (3)^

' H- ( f/ cos

(/cos;3

\![ d cos a.

((/cos ,5)' -h ((/cos

•yy

(/ cos y

cos V

v'( d cos xy-\-{d cos ^y -\-{d cos y y

Nous avons trouvé (584), en nommant p le rayon de courbure.

l \^{dcosxY-h [dcos^y -\-{dcosy] 9 ds