LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et il est clair que les dérivées suivantes pourront se calculer successivement, en remplaçant c?cosX, c?cosa et dcos^ parleurs valeurs; on n'y verra figurer avec les

trois cosinus que les courbures-, - et leurs dérivées.

^xe du plan osculateur.

593. La perpendiculaire élevée au plan osculateur par le centre du cercle osculateur est souvent nommée axe du cercle osculateur. Cette droite est l'intersection de deux plans normaux infiniment voisins.

Soient, en effet, MM' un arc infiniment petit d'une courbe à double courbure, et MM, la projection de cet arc sur le plan osculateur en M : l'intersection des deux plans normaux aux extrémités de l'arc plan MM, est évidemment l'axe du cercle osculateur de cet arc MM,, c'est-à-dire aussi celui de MM' qui, nousl'avons vu (582j, est précisément le même. Il suffit donc de prouver que sans altérer la limite de cette intersection, on peut remplacer le plan normal en M, à l'arc MM,, par le plan normal en M' à l'arc MM'. L'angle formé par les deux plans que nous voulons ici substituer l'un à l'autre est égal à celui des tangentes auxquelles ils sont perpendiculaires, c'est-à-dire à celui de la tangente à l'arc MM' avec le plan osculateur en M; cet angle (567) est infiniment petit du second ordre. Pour faire coïncider le plan normal à MM' en M' avec le plan normal à MM,, en M,, il suffit donc de le faire tourner d'un angle infiniment petit du second ordre autour d'une certaine droite passant par le point M', et de faire parcourir ensuite à tous ses points des droites infiniment petites du troisième ordre égales et parallèles à MM, : il est aisé de voir que chacun de ces deux déplacements change infiniment peu l'intersection avec un plan fixe qui forme avec le plan considéré un angle infiniment petit du premier ordre. ^

594. Le calcul conduit aisément à la même conclusion. Soient x, y, z les coordonnées du point considéré sur une courbe à double courbure. L'équation du plan normal est

( I ) ( / — x)dx-\-{u — r ) dy-\-{v — z)dz^o.

Pour obtenir l'équation du plan normal infiniment voisin, il faut changer x, y, z enx + dx, y-^dy, z-^dz respectivement, et, par conséquent, augmenter le premier membre de l'équation (i) de sa différentielle. La droite d'intersection des deux plans normaux s'obtiendra par conséquent en combinant l'équation (i) avec sa différentielle

( 2 ) {^t^x)d-'x + {ii — r)d\r -\-{v — z)d'z — dx' — dy' — dz' = o.

Si l'on représente l'équation du plan osculateur par

\{t — x)-hB{u — r)-\-C{i' — z) = o, on a (574)

Adx-i-B dy+ Cdz = o,

Ad'x-^Bd'j-hCd'-z=o.

Ces équations montrent que les plans représentés par les équations (i) et (2) sont l'un et l'autre perpendiculaires au plan osculateur, auquel par conséquent leur intersection est normale. Cette intersection passe de plus parle centre de courbure, qui, étant situé sur la normale principale, à la distance p du point x, y, z, a pour coordonnées

^-^^^--ds^' y"^^'lÙ' =^^'^'

Ces coordonnées substituées à t, u, v satisfont aux équations (i) et (2), en vertu des relations connues

dx d-x -j- dy d^y -+- dz d^z = o,

\ ds' 1 ^ \ ds' I ^ \ ds' ; ~ p^

595. Le centre de courbure étant situé, d'après ce qui précède, sur la droite d'intersection de deux plans normaux infiniment voisins, peut être évidemment considéré comme l'intersection de la normale principale avec celle des normales infiniment voisines qui la rencontre.

Surface lieu des normales principales .

596. Les normales principales d'une courbe forment une surface réglée qui n'est jamais développable. Pour le démontrer, remarquons que la surface lieu des normales principales à une courbe a pour plan tangent, en chaque point de cette courbe, le plan osculateur même de la courbe. Ce plan tangent contient en effet deux lignes situées dans ce plan osculateur, et qui sont la normale principale au point considéré qui sert de génératrice à la surface, et la tangente à la courbe donnée qui évidemnient appartient à la surface; si donc la surface, lieu des positions de la normale principale, était développable, chaque plan tangent étant le même le long d'une génératrice, elle serait l'enveloppe des plans osculateurs de la courbe proposée; mais (571) l'enveloppe des plans osculateurs d'une courbe est la surface développable lieu des tangentes à cette courbe, qui est évidemment distincte de la surface lieu des normales principales : il y a donc contradiction à