LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Si l'on représente, pour abréger, par
l'équation du plan osculateur, on a
on en conclut.
ces H =
ces V =
sjk'
cos îl = = 7
(B' + CMf/A — ABJB — ACrfC
a cos l = ^ '
C^ + A^) fl?B — BC ^C — BA ^A
iX^-^B')dC — CkdA — CBdB
dcos'C= — 5 '
(A^ + B^ + cn^
dcosv
et l'on en conclut, après des réductions faciles et indépendantes de la forme des expressions représentées par A, B, C,
r,=:s/{dcoslJ-^{dcosvy-h{dcost;y
y/(A' + B^ + C^) ( ^A^ + dB'-h dO )— ( Ac?A + B^/B + C dCy A'^-l-B'^ + C-
ou, ce qui revient au même,
v/(Bflf(:— CrfB)^+(C^A— Ac^Cr + (A(/B — B</A)^
(>o) -0 = FTbm^T? '•
mais on a
\ = dxd'z—dzd'x, B = dzd'x — da:d'z , C = dxd'y—dfd'x,
dA = drd'z — dzd'x, dB =dzd'x — dxd^z, dC — dxd'r— drd'x;
on en déduit
At/B-B^A^BrfC-CrfB^C^A-ArfC . ,^.^ ,;,./.,../«./.. ./r, dz dx dy- %
par conséquent,
■ v( B(/C— C(/B)-4-( C(/A — A(/ Cy'+{AdB — BdAY
^^===== = d\d^a: + d1id^r + dCd^z,
et
(il) .^ ^ ds{dKd'x + dBd'r + dCd^z)
A^+B^-^C et enfin,
(i2) Jl i dAd'x-hdBd\r-hdCd'z
ds r A= + B- + C^
On a trouvé (584)
^'''-^^'-^^-'' = [id'^y + {d--ry^{d^zy-{dHY]ds\ . et l'expression de ^ peut, d'après cela, être mise sous la forme l__ dAd'sc + dBd\r-hdCd'z
I' ds' [{d''xy^{d\rY -^[d' zY-—[d'syy ■ ou encore, ce qui revient au même, d'après les valeurs de dk, d^, dC, l__ Ad'x-{-Bd\r-hCd'^z
'■ ds'-[{d\vy-^{dyy-i-{d'zy—{d^sy]' Formules de M. Serret.
590. On peut considérer en chaque point d'une courbe à double courbure trois droites rectangulaires dont la position est intimement liée aux affections de la courbe, savoir: la tangente, la normale principale, et la perpendiculaire au plan osculateur. Nous avons fait connaître les formules qui expriment les cosinus des angles formés par chacune de ces directions avec les axes. Les différentielles de ces cosinus s'expriment aussi d'une manière élégante et satisfont à des équations importantes données par M. Serret, et que nous allons faire connaître.
Soient a, /3, y, les angles formés avec les axes par la tangente en un point de la courbe; ^,u, Ç, les angles formés par la perpendiculaire au plan osculateur; X, /;., v, les angles formés par la normale principale.
- et - désignant toujours les deux courbures de la courbe, on a (587)
d ces OL
ces / = 0 — j
ds
fi) fi^cosS
^ I ces u. = 0 — !-
ds
d ces y
ces V = p j—f- :
on en conclut
, ds
rfCOS a = — CCS /.,
I n ds fa) acosS=: — ces a,
, ds
dcos y = — ces V .
Les différentielles des angles^, v, Ç peuvent s'exprimer d'une manière analogue: si, en effet, par l'origine des coordonnées, on mène des perpendiculaires à deux plans osculateurs infiniment voisins, et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale à l'unité, la droite qui réunit les deux points ainsi obtenus est évidemment perpendiculaire à l'axe du plan osculateur et parallèle par conséquent à ce plan ; elle est de plus dans un plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans osculateurs infiniment voisins, et parallèle par conséquent au plan normal; il résulte de ces deux conditions qu'elle est parallèle à la normale principale, et forme avec les axes les angles A, tj., v ; les deux points réunis par cette droite ont pour coordonnées,
ces H, cosu, cosi^, CCS t H- t/cos ;, ces ;; H- û? CCS j , coi Ç -\- d cou Ç ;
on a, par conséquent.
^ - d cos c
ces A =
( 3 ) cos u. =
ces V
sJ{dcos'^y+{dcosvy-h{dcosl^y- ' dcosv
s/{dcosiy-\-{dcos-jy-\-{dcosi:Y
d cos t
\/(rfcos^)'-h(rfcos^)'H-(fl?cos?)^ Mais en nommant t] l'angle de deux plans osculateurs voisins, on a
Tt = v(<^cos^)'4-(rfcosi;)2-h [dcos'çy = — les équations (3) deviennent, d'après cela,
d ces l
cos /. 1= r i — ■ ,
as
d cos u
cos u. = r j — )
as
d cos u cos V = r — ; — - -, as
et par conséquent,
, ., ds cos >. a cos t =
(4) d cos V =
fi? cos w ==
fi?* cos |U
r ds cos V
591. Les différentielles des trois autres cosinus c?cosX, c^cosp., d'cosv, se déduisent de celles que nous venons d'obtenir. Les trois droites que nous considérons formant en effet un trièdre trirectangle, la somme des carrés des cosinus des angles qu'elles forment avec une droite quelconque, l'axe des X par exemple, est égale à l'unité, et l'on a
( I ) ■ COS^ a -h COS^ /. -f- cos' ç ^ 1 ;
on en conclut
[i) cos a dcosx -\- cos >vfi?cos>, -h cos H fi? cos H = o,
et par conséquent,
, „ ^ , - cos a ; cos l j ..
3 «cos/ = — ^-«cosi; ^dcosf,
cos / cos /
c'est-à-dire, à cause des valeurs trouvées pour <icos n et c?cos^,
,,, , . /cos a cos H\ , (4) fi?cos/. = — ( 1 -\ds.
On trouvera de même
, I cos p cos V \ , d cos u = — H ds ,
, /cos V cos V. , d cos V = — H ds.
592. Les formules précédentes permettent de calculer pour une courbe quelconque les dérivées de l'une des coordonnées par rapport à l'arc, en fonction des angles qui définissent la tangente, des deux courbures de la courbe et de leurs dérivées.
On a, en effet,
dx
-y- z=z cos y..
ds
d'^x d cos a i .
ds^ ds p '
d^x . p I dcosA ^ p I / cos X cos £ '
= cos /. —T- H i = cos /. -r
ds:' ds p ds ds P \ p
