LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

est une M'O qui rencontre MN; et le point d'intersection 0 est (595) précisément le centre de courbure de MM'. Les deux normales MO, M'O se rencontrent en effet nécessairement sur l'intersection des plans normaux en M et en M', c'est-à-dire sur l'axe du cercle osculateur, et la droite MN, étant située dans le plan osculateur, coupe nécessairement cet axe au centre même du cercle osculateur.

L'angle formé par les droites M'O, M'N' est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à l'angle des plans osculateurs aux points M et M'. Le plan qui contient M'O et M'N' est en effet le plan normal au point M'. 11 fait avec le plan NMM', qui diffère infiniment peu du plan osculateur, un angle infiniment peu différent d'un angle droit, et l'angle OM'N' peut être regardé comme l'inclinaison de M'N' sur le plan NMN'. Ce dernier forme avec le plan osculateur en M un angle infiniment petit du premier ordre ; mais, pour le faire coïncider avec lui, il suffit de le faire tourner autour de MO : les distances des différents points de M'N' à ce plan ne seront, par là, altérées que d'infiniment petits du second ordre, et par suite M'N' forme avec le plan osculateur en M et avec le plan NMM' des angles dont la différence est infiniment petite du second ordre; mais l'intersection des plans osculateurs en M et M' diffère (569) infiniment peu de la tangente; M'N', qui appartient à l'un de ces plans, est donc, à la limite, perpendiculaire à cette intersection, et son inclinaison sur l'autre plan peut, par conséquent, être prise pour mesure de l'angle

des deux plans. Si l'on désigne MM' par ds en nommant toujours - la seconde

ds courbure, l'angle OM'N' est par conséquent égal à — •

600. Si par un point quelconque de l'espace on mène des parallèles aux trois droites MN, M'N', M'O, on formera un angle trièdre rectangle. Le triangle spbérique correspondant peut être regardé comme rectiligne, et par conséquent le carré de la face opposée à l'angle droit est égal à la somme des carrés des deux

ds autres; or, l'angle de M'N' avec M'O est, on vient de le voir, égal à —, MO étant

ds égal au rayon de courbure p, l'angle de MO avec M'O est —5 le troisième angle.

celui de M'N' avec MN, est donc égal à

^ ids"^ ds- / ^ /•

Telle est l'expression de l'angle formé par deux normales principales infiniment voisines. L'angle trièdre infiniment petit que l'on vient de considérer fait connaître aussi l'inclinaison du plan osculateur qui est parallèle à une de ses fiices, sur le plan parallèle à deux normales infiniment voisines, lequel est parallèle à la face

opposée à Tangle droit; cet angle a pour cosinus le rapport des deux faces qui le comprennent, c'est-à-dire

ds

la tangente est égale par conséquent à -•

Le plan parallèle aux deux normales principales peut être considéré comme passant par l'une d'elles MN, suivant laquelle il coupera évidemment le plan osculateur; l'angle qu'il forme avec ce plan osculateur est par conséquent égal à son inclinaison sur la tangente à la courbe perpendiculaire à MN, et égal par conséquent au complément de l'angle formé par la tangente avec la plus courte distance des

deux normales principales. La tangente de cet angle est, d'après cela, égale à -

Si la courbe est plafi^, - est infini; dans ce cas, en effet, la plus courte distance

est nulle, mais sa direction, toujours déterminée, "est perpendiculaire au plan de la courbe, et par conséquent à la tangente à celle-ci.

La direction de la plus courte distance des normales infiniment voisines étant connue, il est facile d'en calculer la longueur, qui est égale, en effet, à la projection de l'arc ds sur cette direction connue, c'est-à-dire au produit de ds par le cosinus

de l'anffle dont la tancçente est - •

La plus courte distance de deux normales infiniment voisines est d'après cela

ds 0

Sphère osculatrice .

601. Lorsqu'une sphère passe par le cercle osculateur d'une courbe, en un point M, la distance de cette sphère à un point M', situé sur la courbe à distance infiniment petite du premier ordre de M, est moindre que la distance du même point M' au cercle osculateur, et par conséquent du troisième ordre tout au plus. Mais parmi toutes ces sphères il en est une qui s'approche de la courbe infiniment plus que les autres, et dont la distance au point M' est infiniment petite d'ordre supérieur au troisième. Nous allons démontrer l'existence de cette sphère que l'on nomme sphère osculatrice, et déterminer son rayon et la position de son centre.