LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Considérons une courbe à double courbure, et le cercle osculateur en un point M.

Soient M' un point delà courbe infiniment voisin dcM, etM'P la distance du point M'

au cercle osculateur en M. M'P est infiniment petit du troisième ordre. Concevons une sphère passant par le cercle osculateur MP. La distance du point M' a cette sphère sera une droite M'P', normale à la sphère, et qui formera avec M'P un triangle rectangle à la limite, et dont M'P est l'hypoténuse. M'P' est donc moindre que M'P, et le rapport de ces deux lignes est le sinus de l'angle en P, c'est-à-dire le sinus de l'angle sous lequel M'P coupe la sphère. Si donc la sphère est tangente à la droite M'P, le rapport des deux distances a pour limite zéro, et la première étant infiniment petite du troisième ordre, la seconde est d'un ordre supérieur. La sphère pour laquelle cette condition est remplie se nomme sphère osculatrice; elle est déterminée par un cercle qu'elle contient et une droite qui lui est tangente en un point de ce cercle.

602. Nous nous arrêterons ici pour montrer par un nouvel exemple combien de précautions minutieuses sont nécessaires quand on raisonne sur les infiniment petits. Lorsqu'un point est à une distance infiniment petite d d'une sphère, le carré de la tangente menée de ce point à la sphère est le produit de d par une ligne finie égale à la limite au diamètre de la sphère, et si par conséquent la tangente est un infiniment petit du troisième ordre, la distance d est du sixième. On pourrait se croire autorisé, d'après cela, à affirmer que la distance de la courbe à la sphère osculatrice est infiniment petite du sixième ordre. La ligne M'P, dans la démonstration précédente, est en effet du troisième ordre, et si elle est tangente à la sphère osculatrice, la normale à celte sphère doit être du sixième ordre. Mais ce raisonnement, qui semble si simple, est inexact; la sphère osclilatrice est en effet la sphère limite de celle qui passe par le cercle osculateur en M, en touchant la ligne M'P; pour une position quelconque du point M', la distance M'P' n'est pas tangente à la sphère osculatrice, elle la coupe seulement soiis un angle qui tend vers zéro, et cette circonstance suffit pour que la tangente issue du point M' soit infiniment plus longue que la droite ^l' P'.

Soient en effet M'T la tangente, etM'P' la droite tangente à la limite, et qui coupe la sphère sous un angle infiniment petit :

on a

M'T sinM'P'T

M'P' sinM'TP' '

les deux sinus sont nuls à la limite, mais rien ne prouve que leur rapport soit fini: nous devons donc attendre l'étude analytique de la question pour dire avec précision quel est l'ordre de la distance d'une courbe à la sphère osculatrice. Notre démonstration prouve seulement ici qu'elle est d'ordre supérieur au troisième.

Détermination de la sphère osculatrice.

603. Après avoir démontré l'existence, en chaque point d'une courbe, d'une sphère osculatrice dont la courbe s'éloigne dans le voisinage du point de contact, infiniment moins que du cercle osculateur, nous allons donner le moyen de former l'équation de cette sphère, et d'en déterminer le centre et le rayon.

Soit

(i) {t—a)'-h{u — by-\-{v — cY—B' = o

l'équation de la sphère osculatrice* au point de la courbe dont les coordonnées sont 00, y, z. La distance, à cette sphère, du point de la courbe infiniment voisin du point de contact doit être infiniment petite d'ordre supérieur au troisième (602j: or cette distance est de même ordre que le carré de la tangente menée du même point à la sphère, et représenté, comme on sait, par le premier membre de l'équation ([). Les constantes a, b, c, R doivent donc être telles, que l'équation (i) soit satisfaite, quand on y fait ^ = .t, u=^y, v=^z , et que de plus le premier membre devienne infiniment petit d'ordre supérieur au troisième, lorsqu'on y rempface X, y, z par les coordonnées d'un point voisin pris sur la courbe, à distance infiniment petite du premier ordre. Si nous regardons x, y, z comme des fonctions données d'une variable a, dont l'accroissement doc correspond au déplacement considéré sur la courbe, cette condition revient à dire qu'en changeant aen a+ da, dans le premier membre de (i), et développant ensuite suivant les puissances