I.IVUE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

à MM', est tangente à la surface développable, et les directions OM, 00', OC sont par conséquent dans un même plan. Soit/^ l'angle OCO' formé parles axes des cer-

cles osculateurs en M et M'; on a, en désignant comme précédemment la seconde courbure par -v

Si l'on pose OC = /, et que 5 désigne l'angle O'OC, on a évidemment aussi

et par conséqucnl

OO\sin0 /

r.OO'.smO ds

Les lignes MO, M'O', étant normales à MM', leur différence dp est égale (21 ) à 00' cos ^MO, M'O'); mais MO étant perpendiculaire à OC, on a .

et par conséquent on en conclut

cos(MO, M'0') = sinô, 00'sine = </p;

et le rayon MC de la sphère étant l'hypoténuse du triangle MOC, on a en fin

607. Lorsque la courbure d'une courbe est constante, on a -^ = n, et l'équa-

g36 PREMlÈFxE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tion précédente donne R = f- L^ cercle osculateur est, dans ce cas, un grand cercle de la sphère osculatrice. La longueur désignée par / est alors égale a zéro. L'arête de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux est donc, dans ce cas, le lieu des centres de courbure. Monge a remarqué que cette courbe a, comme la proposée, un rayon de courbure constant, et que chacune d'elles est alors le lieu des centres de courbure de l'autre.

Nommons en effet S la courbe proposée, et 1 l'arête de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux qui, dans ce cas, est à la fois le lieu des centres de courbure et des centres des sphères osculatrices. Les tangentes a la courbe 1 sont les axes des cercles osculateurs de S, et par conséquent les plans normaux de 1 sont les plans osculateurs de S; l'enveloppe de ces plans normaux est donc une surface développable dont S est l'arête de rebroussement, et par conséquent la courbe S est le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe 1. Les deux courbes S et 2 étant telles, que le plan normal a chacune est osculateur de l'autre, et la normale principale étant l'intersection du plan osculateur avec le plan normal, le^ deux courbes ont mêmes normales principales, et ces normales réunissent leurs points correspondants. Il en résulte que pour la courbe 2, comme pour la courbe S, le rayon de la sphère osculatrice se confond avec la normale principale, et que S, lieu des centres des sphères osculatrices de 1, est aussi le lieu de ses centres de courbure.

Détermination de quelques grandeurs infiniment petites.

608. Distance d'un point dune courbe au plan osculateur infiniment voisin. - Soit MM' un arc infiniment petit de courbe a double courbure que nous désignerons par J.; projetons cet arc sur un plan perpendiculaire à la tangente en M.

Soient P la projection du point M, F la projection de M', PT la tangente à la courbe P' au point P, et PT la tangente en F.