LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIOiNS GÉOMÉTRIQUES. HH

Le plan osculateur de la courbe MM' au point M est MPT; il est parallèle à M'P', et par conséquent la distance que nous voulons évaluer est égale à la perpendiculaire P'Q, abaissée du point P' sur ce plan, ou, ce qui revient au même, sur la ligne PT. On a, en réunissant les points P et P' par une ligne droite, pour former le triangle rectangle QPP',

(i) P'Q = PP'sinQPP'.

Le facteur PP', distance du point M' à la tangente en M, est infiniment petit du second ordre, et l'on a (586)

(2) PP'= —

Nous avons donc seulement à évaluer l'angle QPP', mais dans cette évaluation se présente une difficulté singulière que nous signalerons à la fin du calcul, et par suite de laquelle un raisonnement très-spécieux va nous conduire à un résultat inexact.

L'angle 1, formé par les tangentes PT, P'T', mesure l'inclinaison du plan osculateur en M sur le plan parallèle aux deux tangentes en M et M'; cet angle, moitié (566) de celui des deux plans osculateurs voisins, est égal par conséquent, en négligeant bien entendu les infiniment petits du second ordre, à — • L'angle TPP' semble devoir être la moitié du précédent et égal à -j-^-, en sorte que la formule (i) donne, pour distance du point M' au plan osculateur en M,

or p

Mais une circonstance singulière rend ce résultat inexact. L'arc PP' présente, en effet, un cas exceptionnel. Le rayon de courbure au point P est nul. L'angle de contingence I de l'arc PP' est en effet infiniment petit du premier ordre, c'est-à-dire de même ordre que l'arc MM' représenté par s\ mais l'arc PP', dont la

corde est égale à — , est du second ordre. Le rapport de l'angle de contingence à la

longueur de l'arc est donc infini, et le rayon de courbure est égal à zéro.

Le tbéorème dont nous avons déduit l'angle TPP' étant en défaut, il faut, pour calculer cet angle, recourir à d'autres considérations. Rapportons l'arc PP' à deux axes rectangulaires situés dans son plan, en prenant pour axe des X la tangente PT, et pour axe des Y une perpendiculaire à cette tangente menée par le point P. L'abscisse du point P' par rapport à ces axes peut être considérée comme égale

à PP', c'est-à-dire à — •• l'angle PIT', qui a pour langente -j-^ est égal à — • on a donc

d'où l'on conclut

dy dx

dy [ip xY

dx 2 /'

en négligeant toujours, il doit être superflu de le rappeler, les infiniment petits d'ordre supérieur à ceux que l'on conserve.

On conclut de l'équation (4), en vertu du théorème démontré (549),