LIVRE TROIS! i^ME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. (r

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Telle est l'expression de la plus courte distance des deux tangentes aux extrémités d'un arc infiniment petit s.

Ces deux théorèmes élégants sont dus à M. 0. Bonnet.

Définition de la développée.

610. La développée d'une courbe est une seconde courbe dont les tangentes rencontrent la première et lui sont normales.

D'après cette définition, pour obtenir une développée d'une courbe, il suffit de lui mener une série de normales suivant une loi telle, que leur ensemble forme une surface développable dont l'arête de rebroussement sera la développée.

On peut obtenir cette surface de la manière suivante : par un premier point M de la courbe, on mènera une normale arbitraire; puis, par un point M' voisin de M, une seconde normale qui rencontre la première; par un point M" voisin de M', une normale qui rencontre la seconde, et ainsi de suite : chacune de ces normales est déterminée, quand on se donne son point de départ, par la condition d'être située dans le plan normal correspondant, et de rencontrer une droite donnée ; leur ensemble forme un polygone qui, lorsque les points M, M'serapprochentindéfiniment, a polir limite une développée. La première normale issue du point M étant arbitraire, chaque courbe a une infinité de développées. Une courbe à double courbure, de même qu'une courbe plane, est dite la développante de sa développée.

Longueur d'un arc de développée.

611. Les développées d'une courbe à double courbure partagent la propriété caractéristique de la développée d'une courbe plane : un arc de développée est égal à la différence des tangentes à ses extrémités, comprises entre leurs points de contact et leur intersection avec la développante.

La démonstration donnée (22) s'applique sans modification. Lorsqu'une droite se meut en restant tangente à la courbe parcourue par l'une de ses extrémités, et normale à celle que parcourt l'autre, la variation de sa longueur entre deux positions quelconques est égale à la longueur de l'arc auquel la droite est restée tan-

gente : que la droite se meuve ou non dans un même plan, cela ne change rien à la démonstration.

On a vu (21 ) que la variation de longueur d'une droite qui se déplace infiniment peu est la somme des déplacements de ses extrémités, respectivement projetées sur la direction de la droite. Lors donc que l'une des extrémités se déplace tangentiellement à la droite, le terme correspondant dans la variation de la longueur est égal à l'arc infiniment petit qu'elle a parcouru ; pour que cet arc représente la variation totale de longueur, il est donc nécessaire et suffisant que le déplacement de l'autre extrémité soit normal à la droite. D'après cela, si l'on porte sur les tangentes à

une courbe quelconque des longueurs MT, M'T', M"T", dont les différences soient égales aux arcs qui séparent les points de contact, la première longueur MT étant d'ailleurs entièrement arbitraire, le lieu des points T, T', T" sera normal à toutes les tangentes; il est par conséquent une développante de la courbe donnée. •

On peut énoncer le résultat précédent en disant qu'un fil étant enroulé sur la courbe MM'M", et l'une des extrémités étant fixe, si on le déroule en laissant toujours la portion déroulée tendue en ligne droite dans la direction de la tangente au point où elle se sépare de la courbe, chacun des points du fil décrira une développante.

612. On peut facilement donner une forme analytique aux démonstrations précédentes.

Soient /, u, v les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe donnée S, et X, j, z, celles du point obtenu en portant, à partir du point de contact, une longueur/sur la tangente au point t, u, v. Cherchons la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe 2, lieu des points x,y, z, soit la développante de la courbe S.

En nommant a, |S, y les angles formés avec les axes par la tangente au point t, w, p, on a,

X =^t -\~ /ces a, (0 . r = «-t-/cos|3,

z = c^-|-/cosy;