LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

616. Les développées situées sur cette surface développablesont telles, que, par le développement de la surface sur un plan, elles se transforment toutes en lignes droites. Elles sont par conséquent les ligues les plus courtes que l'on puisse tracer entre deux de leurs points sur la surface développable.

La normale principale d'une développée étant en effet parallèle a la tangente au point correspondant de la développante, elle est perpendiculaire au plan normal (le celle-ci, c'est-à-dire au plan tangent de la surface développable lieu des développées. Une développée a donc en chaque point sa normale principale, et par conséquent aussi le plan osculateur qui la contient, perpendiculaire au plan tangent (le la surface développable sur laquelle elle est tracée. Or nous allons montrer qu'une courbe, dont le plan osculateur est en chaque point normal à la surface développable sur laquelle elle est tracée, se change en ligne droite par le développement de celle-ci.

Pour cela, cherchons quelle est la courbure de la transformée d'une ligne quelconque tracée sur une surface développable que l'on développe. Lorsque cette courbure sera nulle, la transformée sera rectiligne.

Considérons d'abord un polyèdre dont les arêtes sont les intersections successives d'une série de plans ; il suffira de supposer que les plans successifs se rapprochent indéfiniment pour que ce polyèdre soit remplacé par une surface développable, à laquelle les résultats obtenus s'appliquent comme limite. Soient AM,

BN, BP trois arêtes consécutives du polyèdre, et mn, np, deux côtés d'un polygone tracé sur la surface. Pour développer le polyèdre sur un plan, il faudra faire successivement tourner chaque face autour de l'arête qui la réunit à la face voisine. Dans ce mouvement les côtés mn et np ne changeront pas de longueur, mais l'angle formé par eux, ou, ce qui revient au même, par leurs prolongements, sera altéré. Soit np' la position de np après la rotation. Posons m'np = s, m'np' = s': np, np' sont deux génératrices d'un cône dont nB est l'axe, leur plan est donc à la limite tangent a ce cône, et par conséquent perpendiculaire au plan Bnp', ou, ce qui revient au même, à m'np'. On peut donc, en passant à la limite, regarderie

Si.

644 PREmÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

trîèdre npp'm' comme rectangle suivant l'arête np\ et si l'on pose

m' np = c, m' np' = e',

que l'on nommé 6 l'angle dièdre formé par la hcep' np 2i\ecpnm', on aura

tang s' = tang s ces 9, ou, ce qui revient au même, s et e' étant infiniment petits,

e' := cCOS 0.

Telle est la relation qui lie l'angle de contingence e' de la courbe transformée, à l'angle de contingence e de la courbe primitive, ô désigne évidemment l'angle formé par le plan osculateur de la courbe limite avec le plan tangent à la surface développable, mené par la tangente à cette courbe. L'élément de la courbe ne cbangeantpas de longueur dans le développement, le rapport des courbures est celui des angles de contingence, et par conséquent, en nommant p le rayon de courbure de la courbe tracée sur la surface développable, et p' celui de la transformée après le développement de la surface, on a