LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

(!t par conséquent, en différentiant,

— sin BdB = cosX'c?cos?-f- cosu'd'cosi; H- cosv'û^cosî: + cos?«/cos>/ 4- cosjt/cosa'

H- cosÇacosv ;

en nommant dr, l'angle de deux plans osculateuis infiniment voisins, on a

(/ces H = ^/î cosX, (/ cos u = dn ces u , d cos J^ = rfrî cos V ;

de plus, c^cosX', «?cosp/, c?cosv' sont proportionnels aux cosinus des angles formés avec les axes par la normale principale de la développée qui est (613) parallèle à la tangente delà développante; il en résulte que la somme des trois derniers termes de l'équation (2) est égale à zéro, et cette équation se réduit à

(3) — sxnOdB r=z dr\ ( cos >. cos >/ -h cos u cos y.' -h cosv cos v').

Le multiplicateur de dri dans le second membre est le cosinus de l'angle formé par la normale principale de la courbe donnée avec la normale qui touche la développée; il est évidemment égal à sin 5, et l'on a, par conséquent,

dB= — dr,, ce qui démontre la proposition énoncée.

Équation des développées .

622. Après le développement sur un plan de la surface développable qui contient toutes les développées, les génératrices sont représentées par des lignes droites tangentes à une même courbe qui est la transformée de l'arête de rebroussement. Les développées sont représentées par des lignes droites qui coupent ces diverses tangentes. Si l'on nomme a et a^ les angles sous lesquels une même développée coupe deux génératrices de la surface développable, et û l'angle formé par ces génératrices après le développement, on a, évidemment,

Cela posé, pour chercher l'équation des développées, après avoir choisi sur la surface développable une généi'atrice initiale à laquelle correspond l'angle «„, on calculera l'angle Û relatif à une génératrice quelconque. Cette détermination exigera l'emploi du calcul intégral. La différentielle di\, angle de deux génératrices infiniment voisines de la surface développable, est en effet l'angle de deux plans osculateurs correspondants de la courbe donnée, et peut être considérée comme

connue. Supposons que l'on en ait déduit l'expression de ù en fonction des coordonnées du point correspondant de la courbe donnée. Soit p le rayon de courbure en ce point, et p, sa distance au point correspondant de la développée. |5, est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l'un des côtés est p, et dans lequel l'angle opposé à ce côté est a^ 4- û : on a donc

Pi ^^ TT" '

"^ sin ( «0 -f- 12 )

Cette valeur de p, permettra, lorsqu'on aura choisi ao, de déterminer le point de la développée correspondant à un point donné de la développante, et les coordonnées d'un point pourront ainsi s'exprimer en fonction d'une seule variable, dont l'élimination fera connaître les équations de la courbe.

623. M. 0. Bonnet a proposé, pour la détermination analytique des développées, une méthode plus directe, sur laquelle nous aurons à revenir. Nous nous bornerons ici à montrer comment il ramène le problème à la détermination d'une fonction satisfaisant a une certaine équation différentielle.

Le plan osculateur de la développée contient la tangente et la normale principale; la première de ces lignes est normale à la développante, et la seconde (61 1) parallèle à la tangente de celle-ci. Il en résulte que les plans osculateurs d'une développée sont des plans menés par les tangentes de la courbe proposée, et tels, que l'intersection de chacun d'eux par le plan infiniment voisin soit une normale à la courbe:

C'est en exprimant cette propriété que l'on trouve l'équation annoncée.

Soient

(0 x = az-]-p, y=bz-\-q,

les équations de la tangente à la courbe proposée, a, b,p, q, étant des fonctions connues d'un même paramètre a, vérifiant (572) la condition

da db

Le plan osculateur de la développée passant par la droite (i) a pour équation

(3) {x — az — J9)H->, (j — bz — ^)=o,

OÙ X représente une fonction inconnue de a. La tangente à la développée étant l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins, est représentée par l'équation (3) et par sa différentielle

( 4 ) z da-h dp -\- l(z db -h dq) — dliy — bz — ^ ) = o -

La condition pour que la droite représentée par les équations (3) et (4) soit perpendiculaire à la tangente de la courbe donnée est

( fl' -h />' -h I ) ^ > 4- / ( ifdf> — ada ) — )?{ adh -h bda ) = o ,

et si l'on trouve une fonction X qui satisfasse à cette équation, on aura l'équation générale des plans osculateurs de la développée, et l'on pourra (575) en déduire l'équation de celle-ci.

EXERCICES

1. Les équations d'une courbe étant données, reconnaître si cette courbe est située tout entière sur une même sphère.

'1. Le plan mené par une tangente et par un point pris sur la courbe à distance infiniment petite du point de contact forme avec le plan osculateur un angle égal au tiers de oelui de deux plans osculateurs infiniment voisins.

3. La perpendiculaire commune à deux tangentes infiniment voisines forme, avec la perpendiculaire à l'un des plans osculateurs correspondants, un angle égal à la moitié de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins.

h. On donne deux courbes tangentes l'une à l'autre en un point 0; à partir de ce point on porte sur chacune d'elles une longueur infiniment petite égale à /: trouver la direction limite de la ligne qui réunit les extrémités de ces longueurs.

5. Les centres de courbure de toutes les projections d'une courbe sur des plans conduits par la tangente en un point sont situés sur une même droite perpendiculaire au plan osculateur de la courbe.