LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

qui ne l'est pas encore. Tous ces points, où les diverses développées viennent couper une même génératrice de la surface développable, correspondent à un seul et même point de la courbe primitive dont le cercle osculateur a pour axe cette génératrice ; les tangentes aux diverses développées vont concourir en ce point. Lorsque le plan tangent en se déroulant touchera successivement la surface développable suivant toutes les génératrices, le développement des développées les transformera donc à chaque instant en une série de lignes droites concourant en un point variable, qui, entraîné parle plan tangent mobile, parcourt précisément la courbe donnée, et lorsque le développement sera terminé, il en sera évidemment de même, et toutes les développées transformées iront concourir en un même point.

618. La courbe lieu des centres de courbure d'une courbe donnée est située sur la surface lieu des axes des cercles osculateurs qui contient toutes les développées, mais elle n'est jamais elle-même une développée. Chacun de ses points est le pied de la perpendiculaire abaissée du point correspondant de la courbe donnée sur la génératrice correspondante de la surface développable. Nous venons de voir qu'en supposant les points de la courbe primitive liés aux génératrices correspondantes de la surface développable et tournant avec les plans tangents dans le développement 3e celle-ci, pendant le mouvement de développement du plan mobile que l'on suppose enroulé sur la surface, chacun d'eux parcourra la courbe ellemême, en sorte qu'ils se trouveront tous réunis, après l'opération, au point même où viennent concourir les droites transformées des diverses développées. Les points dé la courbe lieu des centres de courbure sont donc, après ce développement, les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les transformées des génératrices, c'est-à-dire sur les tangentes à la courbe transformée de l'arête de rebroussement lieu des centres des sphères osculatrices.

619. Toutes les développées se transformant, par le développement de la surface développable qui les contient, en droites issues d'un même point, l'une de ces droites représente, non-seulement la développée qui lui correspond, mais encore toutes les tangentes à cette développée supposées entraînées dans le développement avec le plan tangent qui les contient. Si l'on considère deux développées différentes, les tangentes à ces développées qui correspondent à un même point de la courbe primitive sont situées dans un même plan normal à celle-ci, et, par conséquent, dans un même plan tangent à la surface développable lieu des développées. Le développement n'altérera donc pas l'angle qu'elles forment, et cet angle est égal, par conséquent, à celui des deux droites qui, après le développement, représentent les deux développées. D'après cela, si l'on considère deux développées d'une même courbe à double courbure, et les deux groupes de normales à celle-ci, qui sont tangentes à chacune d'elles, ces normales se couperont deux à deux sur la

courbe donnée sous- un angle constant. En d'autres termes, si l'on considère les normales qui enveloppent une première développée, pour obtenir celles qui en enveloppent une seconde, il suffira de faire tourner chacune d'elles d'un angle coiistant autour du point où elle rencontre la courbe, sans la faire sortir, bien entendu, du plan normal qui la contient.

620. Si l'on considère la série des normales qui enveloppent une même développée, l'angle formé par Tune d'elles avec le plan osculatcur correspondant varie (f un point à l'autre, et reçoit en chaque point un accroissement constant lorsque l'on substitue une développée a une autre. La différentielle de cet angle est, par conséquent, indépendante de la développée considérée.

(]etle différentielle est égale à l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins.

Soient, en effet, M et M' deux points infiniment voisins d'une courbe a double courbure. Considérons celle des développées à laquelle est tangente la normale

principale en M: l'inclinaison de cette normale sur le plan osculateur étant égal à zéro, la différentielle cherchée est l'inclinaison du plan osculateur en M' sur celle des normales au point M' qui va rencontrer la normale MO. Or on a vu (599) que cette inclinaison est précisément l'angle des plans osculateurs en M et en M'.

621. L'analyse conduit aisément à la même conclusion. Considérons, comme nous l'avons fait (590), en un point M de la courbe donnée, la tangente, la normale principale et la perpendiculaire au plan osculateur qui forment un trièdre trirectangle. Soient a, |S, y, X, p., v, B, v, Ç, les angles formés par ces trois droites avec les axes de coordonnées; désignons par X',/u!.', v', les angles formés avec les mêmes axes par celle des normales qui est tangente à la développée considérée; en nommant Q l'angle de cette normale avec l'axe du cercle osculateur, on a

ces 6 = ces >.' CCS ^ -h ces u.' ces y + CCS v' ces '■■