LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

layon de courbure est donné par h fornnule

dx J dans laquelle il faut supposer x, =o, et par suite '^ = o, car la courbe est évidemment tangente à l'axe des X,. Pour calculer ^. il suffit de différentier deux

fois par rapport à ^, l'équation

z=io{x,y),

en se rappelant les relations (i); on obtient ainsi

dz dz dx dz dr dz , dz

' ' ^Xy dx dx, dy dx^ " dx dy

et en différent! ant de nouveau par rapport à .a:;, ,

(4) ^3-cos'a-^+.sm«cos«~-^.H-sm'«^. ,

Les formules (3) et (4) se rapportent à un point quelconque de la courbe d'inter- ■ section; pour en déduire les valeurs des dérivées relatives au point 0, origine des

coordonnées, il faut y supposer a? = o,7=o, et on a alors ^ = o , ^ — o; les dérivées dusecond ordre -t4.' ^~^' ^2 prennent des valeurs déterminées que nous représenterons par A, B, C, et nous aurons

dz ax\

— — = A ces' a -h 0. B sin x cos a -h C sin* x ;

dx^

z ne différant pas de r.,, les valeurs substituées dans l'équation (2) font connaître le rayon de courbure p, et l'on a

A ces' a -h 2 B sin a cos a H- C sin - a

Cette formule résout complètement le problème; elle montre que la loi suivant laquelle varie le rayon de courbure p est toujours la même, et que les valeurs numériques des trois constantes A, B, C varient seules d'une surface à l'autre. ^

625. Il peut sembler bien extraordinaire, au premier abord, que la loi suivant

laquelle varient les rayons de courbure des sections d'une surface soit déterminée indépendamment de la définition particulière de celle-ci. Rien ne semble en effet rattacher les unes aux autres les diverses valeurs du rayon de courbure. Lorsque l'on se donne un point d'une surface et la normale en ce point, les sections faites dans la surface parles divers plans conduits suivant la normale restent arbitraires et indépendantes les unes des autres. Quelles que soient les courbes, pourvu qu'elles se succèdent en se déformant suivant une loi continue, leur ensemble formera une surface, et rien ne restreint évidemment la loi suivant laquelle peuvent varier les rayons de courbure. Ce raisonnement bien simple montre seulement que le théorème précédemment démontré doit présenter des exceptions. Sa démonstration ellemême, si on l'examine de près, conduit d'ailleurs à la même conclusion. Nous

avons admis en effet que les dérivées -^j» -r—f -7-1 prennent, lorsqu'on y suppose 07 = o, / = o, des valeurs déterminées qui ont été désignées par A, B, G ; or il peut arriver que ces expressions, quoique fonctions déterminées de x et de j, deviennent indéterminées pour ce système particulier de valeurs. C'est ce qui a lieu

par exemple lorsqu'elles dépendent du rapport - ■> dont, pour o? = o, j = o, la va- .

leur est arbitraire. Ces exceptions, qui ne peuvent se présenter qu'en des points singuliers de certaines surfaces, ont d'ailleurs peu d'importance, elles n'infirment pas plus la théorie générale de la courbure, que l'existence d'un point anguleux tel que le sommet d'un cône n'infirme celle du plan tangent.

626. La courbure - d'une section normale quelconque a pour expression

- = A cos^ a + 2B sin a ces a 4- C sin^ a.

Les constantes A, B, C, qui varient d'une surface à l'autre, et d'un point à l'autre sur une même surface, suffisent, quand elles sont connues, pour déterminer les courbures de toutes les sections normales.

Lorsque l'angle a varie, le trinôme qui représente - passe par une valeur

maxima et par une valeur minima que l'on obtiendra toutes deux en égalant la dérivée à zéro ; on a ainsi

(C — A)sin2a-|-2B cos 2^ = 0,

tang 2 a =

Cette équation fournit pour a un nombre infini de valeurs auxquelles correspondent, comme on sait, deux directions perpendiculaires l'une à l'autre. La seconde