LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 6o
dérivée de - est
i{C — A)cos2a — 4^sin2a.
Si l'on y remplace successivement a par les deux valeurs a, et a, + - ^ qui annulent la première dérivée, on obtient évidemment deux résultats de signes contraires. L'une de ces valeurs correspond par conséquent à un maximum, et l'autre à un minimum.
627. Les deux sections normales, perpendiculaires l'une à l'autre, et dont les courbures sont maxima et minima, se nomment les sections principales de la surface au point considéré.
Si nous prenons les plans de ces deux sections, dont l'existence est maintenant démontrée, pour plan des ZX et pour plan des ZY, les valeurs maxima et minima de
la courbure correspondront à a = o, a= -, et l'on aura alors, pour l'une et pour
l'autre,
tang loc = o;
la constante désignée par B doit par conséquent être égale à zéro, et l'expression de la courbure d'une section quelconque prend la forme
(i) - = Acos-a-|-Csin'«.
Pour obtenir les courbures maxima et minima que nous nommerons î^ et t^ . il
Ri R;
faut faire successivement « = o, a= - , et l'on trouvera ^ = A, 7^ = B, en sorte
2 K| Rj
que l'expression générale de la courbure d'une section normale peut se mettre sous la forme
(2) - = Tr COS'a-i-— sm'a.
p R( Rj
De cette équation on déduit un théorème remarquable.
Si l'on considère deux sections normales perpendiculaires l'une à l'autre, on obtiendra leurs courbures au point 0, en remplaçant successivement dans l'équation (2) a par deux valeurs w et w h- - ; on aura ainsi
on en déduit
p. Ri R2
- = TT sm' w H- TT CCS* 0) ; Pi- Ri Rj
p . "^ P^ ~" ïï; "^ ir.
c'est-à-dire que la somme des courbures de deux sections perpendiculaires Tune à
l'autre est constante et égale à la somme des courbures maxima et minima.
628. Nous devons remarquer que la formule employée pour le rayon de courhure indique par le signe qu'elle lui assigne (492) le sens de la courbure. L'expression générale de - est donc susceptible de devenir, suivant les cas, positive ou
négative, et la valeur zéro, lorsqu'elle est atteinte, n'est pas, en général, une valeur minima. Si donc le rayon de courbure d'une section est infini, il ne doit pas, d'après notre analvse, être considéré comme un rayon de courbure maximum, et la section qui lui correspond n'est pas en général une section principale.
Si nous considérons, par exemple, un byperboloide gauche, parmi les sections normales que l'on y peut faire autour d'un point, il y en a deux qui sont rectilignes,
et pour lesquelles la courbure - est égale à zéro. Ce ne sont pas des sections prin-
cipales: - en devenant nul change en effet de signe et n'acquiert pas une valeur
maxima. Les sections principales sont celles qui correspondent aux plus grandes
valeurs absolues, l'une positive et l'autre négative, de -• Les sections principales
sont donc deux sections à courbures opposées, et dont chacune a un rayon de courbure minimum entre toutes celles qui sont courbées dans le même sens.
Courbure d'une section oblique.
629. Considérons actuellement une section oblique de la surface, et cherchons l'expression de son rayon de courbure en un point. Prenons toujours pour axe des Z la normale à la surface au point considéré, et supposons l'axe des X dirigé suivant la droite d'intersection du plan tangent et du plan de la section considérée. Ce plan, passant alors par l'axe des X, aura pour équation
(i) r=2tangy,
OÙ 7 désigne l'angle qu'il forme avec le plan des XY. Soit
l'équation de la surface. Rapportons la courbe d'intersection à deux axes rectangulaires situés dans son plan, dont l'un soit l'axe des X actuel, et l'autre la trace du plan de la courbe sur celui des ZY; en nommant x^, s, les coordonnées d'un point de la courbe par rapport à ces deux axes, et x, y, z les coordonnées du même
