OP. = OP

Pa et P sont donc sur la circonférence d'un cercle décrit du point 0 comme centre dans le plan II dont nous avons parlé; par suite, la ligne infiniment petite PPo est, dans ce plan, perpendiculaire au rayon OP, et comme le plan II fait avec le plan POM un angle inliniment peu différent d'un droit, la direction PPa est, à la limite, perpendiculaire au plan POM, et par suite, comme nous l'avions annoncé, perpendiculaire à MT.

Nous avons donc trouvé deux tangentes à la surface 1, toutes deux perpendiculaires a MT; par conséquent le plan tangent cherché, qui les contient toutes deux, est lui-même perpendiculaire à MT.

On peut faire au sujet du théorème précédent une remarque curieuse. Les deux surfaces S et 2 sont réciproques l'une de l'autre : c'est-à-dire que si, considérant la surface 1 comme donnée, on opère sur elle comme on l'a fait sur la surface S, on reproduira précisément celle-ci. En menant, en effet, le rayon vecteur OP, puis par 1(^ point P la normale à la surface 2, cette normale est parallèle àMT; le plan qui contient ces deux lignes est donc précisément POM, et dans ce plan, la perpendiculaire menée à OP parle point 0 estOM; si l'on porte sur elle une longueur égale à OP, on obtient le point M.

Longueur de quelques arcs de courbe.

18. Dans l'évaluation d'une somme d'infiniment petits on peut, sans altérer la limite (11), négliger les infiniment petits d'ordre plus élevé que chacun de ceux que

l'on considère. Ce principe est fréquemment employé dans le calcul infinitésimal. Nous en donnerons dès à présent l'application à la détermination de la longueur de quelques arcs de courbe.

Nous regarderons la longueur d'un arc de courbe comme la limite dont s'approche le périmètre d'un polygone inscrit lorsque ses côtés diminuent indéfiniment. 11 est facile de voir que cette définition est légitime et que la limite ne dépend pas de la loi suivant laquelle on fait augmenter le nombre des côtés du polygone inscrit.

Soit, en effet, AB un arc de courbe. Rapportons-le à deux axes rectangulaires OX, OY, et partageons en un nombre infiniment grand de parties égales la portion PQ de l'axe des X sur laquelle il se projette. Si l'on inscrit dans l'arc AB deux polygones différents se terminant l'un et l'autre aux points A et B, les limites des périmètres de -ces polygones seront égales, car les portions infiniment petites comprises entre deux parallèles à l'axe des Y menées par deux points de division consécutifs ont un rapport dont la limite est l'unité. Ces deux portions infiniment petites de polygones ont, en effet, mêmes projections sur l'axe des X, et ces projections sont évidemment égales à la somme des longueurs projetées, multipliée par une valeur moyenne des cosinus des angles formés avec l'axe par les divers côtés ou portions de côtés qui les composent. Mais ces angles différent tous infiniment peu de l'inclinaison sur l'axe de la tangente au point correspondant de l'arc AB. Or des longueurs qui, multipliées par des cosinus finis et infiniment peu différents, donnent le même produit, ont évidemment un rapport dont la limite est l'unité.

19. La différence entre un arc de courbe et sa corde est, d'après ce qui précède, infiniment petite du troisième ordre lorsque l'arc est lui-même infiniment petit du premier ordre.

Pour le démontrer, considérons un arc infiniment petit AMB et sa corde AB. L'arc AMB est, par définition, la limite d'un polygone inscrit dont le nombre de côtés augmente indéfiniment. Si l'on projette chacun de ces côtés sur la corde AB, la somme des projections sera la corde AB elle-même; mais la projection de chaque côté est égale à la longueur de ce côté multipliée par le cosinus de l'angle qu'il forme avec AB, et comme cet angle est infiniment petit du premier ordre, la différence de son cosinus avec l'unité est infiniment petite du second ordre : cela résulte

évidemment de la formule i — cos a? = 2 sin- - x. Si donc on remplace le polygone

inscrit par sa projection AB, l'erreur commise est égale à la somme de ses côtés multipliés respectivement par des infiniment petits du second ordre; elle est donc égale au périmètre infiniment petit du polygone, multiplié par une moyenne entre des infiniment petits du second ordre, et par conséquent elle est du troisième ordre.

20. Arc de cycloïde. — Les considérations qui nous ont fait connaître la tangente en un point de la cycloïde permettent d'évaluer la longueur d'un arc quelconque de cette courbe.

Soient AB la position du cercle mobile lorsque le point générateur est situé sur la droite fixe, et M, M' deux points infiniment voisins correspondant aux positions du cercle mobile dont les points de contact sont respectivement G et C. On a vu (14) que pour transporter le point M de la cycloïde sur le point voisin M', on peut lui faire subir deux rotations successives de même angle, l'une autour du point C et l'autre autour d'un point situé à une distance infiniment petite du troisième ordre du point G', suivies d'une translation infiniment petite du troisième ordre parallèle à GG'. Il résulte des théorèmes précédemment démontrés, que la translation infiniment petite du troisième ordre peut être négligée, et que l'on peut aussi regarder les deux arcs de cercle comme ayant tous deux le rayon GM et, par conséquent, comme égaux: en modifiant ainsi la longueur du chemin MM', on ne retranche en effet qu'une portion infiniment petite de sa propre valeur, et la limite de la somme des arcs intiniment petits n'est pas altérée. Évaluons donc l'arc de cercle de rayon GM, et dont l'angle au centre (14, Problème V) a pour mesure, dans le cercle générateur, la moitié de l'arc égal à GG'. Or en menant par les points M et 31' des parallèles à la base, elles vont rencontrer la position primitive du cercle générateur en deux points xM, etM'j tels, que l'arc M, M\ est, d'après la génération de la cycloïde, égal à GG', en sorte que l'angle M, AM'^ est égal à l'angle au centre de l'arc que nous voulons évaluer; le rayon de cet arc étant d'ailleurs égal à M, A, l'arc infiniment petit MM' de cycloïde peut être remplacé par le double de l'arc M, P, décrit du point A comme centre et compris entre AM, et AM', . Si l'on joint le point M, au point B diamétralement opposé à A sur le cercle générateur, BM, est tangent à M, P, et la portion M,/ de cette droite comprise entre AM, et AM', peut remplacer l'arc M, P. Mais BM', étant perpendiculaire à AM', , est égal à B/ (8), si l'on néglige les infiniment petits

du second ordre, en sorte que M, t peut être remplacé par la différence BM, — BM', , et l'on. peut considérer l'arc de cycloide comme égal au double de cette différence. Si l'on évalue de même les arcs infiniment petits compris entre le point M et le point S le plus élevé de la courbe, leur somme, c'est-à-dire l'arc MS, est, d'après cela, égale au double de la somme des diminutions que subit la ligne BM< en variant de BM, à zéro, c'est-à-dire enfin qu'elle est égale à 2BM,, ou, ce qui revient au même, au double de la portion de tangente MT comprise entre le point M et la tangente au sommet.

21 . Variation de longueur d'une ligne droite. — Lorsqu'une droite se déplace dans l'espace et vient- occuper une position nouvelle, la variation de sa longueur est la somme des variations subies dans chacun des déplacements infiniment petits dont la succession peut être considérée comme produisant le déplacement total. Nous allons faire connaître un théorème souvent utile, à l'aide duquel on peut former, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'expression de ces variations infiniment, petites.

Soient AB et A'B' deux positions infiniment voisines, faisant (6) un angle infiniment petit du premier ordre dont le cosinus ne diffère de l'unité que d'un infiniment petit du second ordre. En négligeant les infiniment petits du second ordre, A'B' est donc égal à sa projection PQ sur AB, et par conséquent la différence A'B' — AB est égale à PQ — AB, c'est-à-dire à QB - AP, ou à BB' cos B'BQ — AA' cos A' AP,

ou, enfin, à la somme des déplacements AA' et BB' subis par ses extrémités et multipliés respectivement par les cosinus des angles qu'ils forment avec la droite AB, considérée comme dirigée de A vers B quand il s'agit de déplacement BB', et de B vers A quand il s'agit de AA'.

Nous signalerons deux cas remarquables.

Lorsque la droite reste constamment normale à la ligne parcourue par l'une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contenant en facteur le cosinus d'un angle droit est égal à zéro, et l'accroissement infiniment petit de la longueur est réduit alors à un seul terme.

Lorsque la droite reste constamment tangente à la courbe parcourue par l'une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contient en facteur le cosinus d'un angle nul, et il se réduit par conséquent au déplacement lui-même, c'est-à-dire à l'arc infiniment petit de la courbe à laquelle la droite considérée reste tanijente.

22. Arc de développée. — Les deux cas précédents peuvent se présenter en même

temps. Si l'on considère deux courbes dont l'.une ait pour tangentes les normales

de l'autre, la droite MP, se déplaçant en restant normale à la première et tangente à la seconde, de manière à passer de la position MP à la position NQ, son accroissement, égal d'après ce qui précède à la somme des arcs élémentaires qui composent l'arc PQ, sera précisément l'arc PQ lui-même : on a par conséquent

arcPQ = NQ-MP.

Réciproquement, si l'on considère une courbe quelconque PQ, et que l'on porte sur chaque tangente RT une longueur RT égale à une constante augmentée de l'arc RQ qui sépare le point de contact du point fixe Q, la courbe MTN, lieu

des points T, aura pour normales les tangentes de la proposée. Si l'on considère, en effet, l'accroissement de la ligne QN, lorsque, coïncidant successivemenf avec les diverses tangentes dont la longueur a été définie, elle prend la position finale RT, son accroissement total est,par-1ïypothèse^ égal à l'afc RQ, c'est-à-dire à la somme des termes infiniment petits proportionnels au déplaçéjuent de l'extrémité Q dans l'expression générale de l'accroissement élémentaire. 11 faut donc que les autres termes, ceux qui sont proportionnels aux jléplacements de l'extrémité N, aient une somme constamment nulle et qu'ils goiéiit par conséquent égaux à zéro. Or il faut pour cela que le cosinus par lequel on multiplie le déplacement du point N soit égal à zéro, et par suite que la droite mobile forme toujours un angle droit avec la courbe que parcourt son extrémité.

L'étude des courbes telles que PRQ et MTN, dont la première a pour tangentes

les normales de la seconde, joue un rôle important dans la géométrie. Nous ne les considérons ici que comme exemple simple de courbes rectifiables . Bornonsnous à ajouter que la première, PRQ, se nomme la développée de la courbe MTN, et la courbe MTN est dite la développante de PRQ. Il résulte évidemment des explications précédentes qu'une courbe n'a qu'une développée et qu'elle a, au contraire, une infinité de développantes. Mais nous reviendrons longuement sur cette théorie importante.

EXERCICES

1. Quelle que soit la fonction de la variable x désignée par ^ [x), h désignant un infiniment petit du premier ordre, l'expression

vf[x + 2.h) — 7.9 [x -h h) H- <f[x]

est intiniment petite du second ordre.

'2. Etant donnés une courbe plane et son cercle osculateur en un point, prouver que la portion d'une parallèle à la tangente commune interceptée entre les deux courbes est infiniment petite du second ordre, lorsque les distances du point de contact aux deux points d'intersection sont du premier ordre.

3. Si d'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à cette courbe, et que sur chacune on porte, à partir de 0, une ligne proportionnelle à' sa longueur, que l'on opère de la même manière sur la courbe ainsi obtenue, et que l'on répète indéfiniment la même construction, la courbe limite correspondant à un nombre infini d'opérations coupera sous le même angle tous les rayons vecteurs issus du point 0.

4. !)un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane on mène des rayons vecteurs aux points de cette courbe, et l'on prolonge chacun d'eux d'une longueur constante à partir de la courbe donnée. Déterminer la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus et prouver que la normale à cette courbe, la normale au point correspondant de la courbe donnée, et la jjerpendiculaire au rayon vecteur mené, par le point 0, se rencontrent en un même point.

5. D'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane on mène des rayons vecteurs aux différents points de cette courbe et l'on porte sur chacun d'eux, à partir du point 0, une longueur inversement proportionnelle à celle du rayon, déterminer la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus. Prouver que si deux courbes se coupent, celles que l'on en déduit par cette construction se coupent sous le même angle.

6. Si tous les plans tangents d'une surface la touchent suivant des lignes, ces lignes sont nécessairement droites.

7. D'un point fixe 0, on mène des rayons vecteurs aux différents points d'une surface, sur chacun d'eux on porte, à partir de 0, une longueur inversement proportionnelle à celle du rayon vecteur; trouver le plan tangent à la surface lieu des points ainsi obtenus.

Les normales aux points correspondants des deux surfaces se rencontrent. Si deux surfaces se coupent sous un certain angle, celles que l'on en déduit se coupent sous le même angle.

8. Si l'on considère dans un plan deux courbes quelconques, que l'on regarde connne correspondants les points pour lesquels les tangentes sont parallèles, et que par un point fixe on mène des droites égales et parallèles à celles qui réunissent deux points correspondants, la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus est parallèle aux tangentes aux points correspondants des courbes données, et l'arc de cette courbe est la somme ou la différence de ceux qui lui correspondent sur ces courbes données.

9. Prouver par des considérations analogues à celles qui ont été employées pour trouver (20) la longueur de l'arc de cycloïde, que la surface comprise entre la cycloïde et sa base est triple de celle du cercle générateur.

iO. Si une courbe plane quelconque roule sans glisser sur une droite fixe, un point du plan lié invariablement à cette courbe et entraîné dans son mouvement, décrit une courbe dont la normale en un point quelconque passe par le point de contact de la droite fixe avec la position correspondante de la courbe mobile.

11. Si d'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane, on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à cette courbe, la longueur d'un arc de la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires, est égale à celle de la courbe- engendrée par le point 0 lié invariablement a la courbe donnée, pendant que l'arc correspondant de celle-ci roule sans glisser sur une droite fixe.