DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Définition de la dérivée.

23. Nous avons vu (2) que, cp [oo] désignant une fonction quelconque de la variable 00, l'expression

c'est-à-dire le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, "a, pour chaque valeur de oc, une limite déterminée, lorsque l'accroissement h est infiniment petit. Cette limite, qui est elle-même une fonction de oo, se nomme la dérivée de cp {x), et on la désigne souvent en ajoutant un accent au signe qui représente la première.

çi' f^) est la dérivée de 9 (a?).

24. Si l'on considère la fonction © {x) comme l'ordonnée d'une courbe ayant pour équation en coordonnées rectilignes j = 9 (œ), la dérivée 9' (^) est le coefficient angulaire de la tangente à cette courbe. Le rapport

est en effet le coefficient angulaire de la corde qui joint deux points dont les abscisses sont a; eix -h h, et la limite de ce rapport est par conséquent le coefficient de la tangente, position limite de cette corde.

Nous allons montrer comment on peut calculer la dérivée, d'une fonction donnée explicitement à l'aide des signes habituellement employés dans l'analyse élémentaire.

Dérivées des Jonctions simples.

25. Parmi les fonctions employées en analyse, il en est quelques-unes auxquelles on donne le nom de fonctions simples. Leur nombre peut être augmenté ou diminué, en quelque sorte arbitrairement. Ces fonctions simples sont, en effet, celles auxquelles on ramène les autres, et par la combinaison desquelles se forment lesfonc-

tions composées. Or il peut arriver que, suivant le point de vue auquel on se place, une même fonction soit regardée comme simple ou comme composée: je citerai les fonctions sin x et cos oc, que l'on regarde souvent et que nous regarderons nousmême comme des fonctions simples; on a cependant

cos^ = y/i — sin^:c,

cos:r=: sm ( -

et chacune de ces formules, exprimant cos x par des opérations où figure le signe sinus, permettrait de ne pas regarder le cosinus comme une fonction simple. Quoi qu'il en soit, nous considérerons comme fonctions simples, les fonctions : x'" (m étant entier), a^, log x, sin x, cos x et tang x. Nous chercherons d'abord leurs dérivées, puis nous ferons connaître des théorèmes généraux qui permettent d'en déduire celles de toutes les fonctions explicites.

26. Dérivée de x'".— La première des fonctions simples qui se présente en algèbre est x"*; c'est aussi la première fonction dont nous chercherons la dérivée, en supposant toutefois que l'exposant m soit entier et positif. La fonction x"^, lorsque l'exposant est fractionnaire, peut être regardée comme une fonction simple, mais il nous sera plus commode de ne pas le faire et de ramener ce cas plus général à celui oîi m est entier.

La dérivée de x^" est, par définition, la limite du rapport

(x-hh) "' — x"

lorsque h tend vers zéro ; or cette fraction est égale, m étant entier, a

ilix'"-' -\ h' X'-

En effectuant la division par h, puis supposant A = o, on voit que la limite de cette fraction est /w^r'""' . Ainsi la dérivée de x'"- est mx'"~^ .

27. Dérivée de a^ . — La dérivée de a^ est, par définition, la limite du rapport

lorsque h tend vers zéro. On a évidemment

28 PREifiÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La dérivée est donc la limite du rapport

Posons a^ — I = a, et par conséquent a^ = i -^ «, h log a — log {\ 4- (Z ) ; l'expression (A) devient

o^\o^a a'\o^a a' log a

' ' log(l+a) I L

-lOg(H-a) log(i+a)a

Lorsque h tend vers zéro, a, qui est égal à a^ — r , tend également vers zéro ; ( i -h a) " a par conséquent pour limite la base des logarithmes népériens, habituellement désignée par e; l'expression (B) a donc pour limite a^ p^ ■, et par conséquent, la dé-

nvee de a est a \

loge

La base du système dans lequel on prend les deux logarithmes est arbitraire et

n'influe pas sur leur rapport qui figure seul dans l'expression. Lorsque a est égal

à e, le rapport des logarithmes devient l'unité, et la dérivée de e"^ est e"".

28. Dérivée de log x. — La dérivée de la fonction log x est, par définition, la limite du rapport ^^\^^ ^r og'^, lorsque h tend vers zéro. On a

ins log(.r + A)-logx ^^y^lcj

Posons - = a, h—ax\ cette expression devient

eux X

Or, a tendant vers zéro, (iH-a)* a pour limite le nombre e, l'expression (C) a donc

pour limite -^^5 et la dérivée de log x est

Si le logarithme est pris dans la base e, on le désigne habituellement par \x, et la dérivée de l^ e^^ - •

29. Dérivée de sin x. — La dérivée de sin x est, par définition, la limite du rapport

sin [x-\-h\ — sino;

Or on a

.Il ( h\ 2 sin -cosl X -\-~\

sin [x-\-li) — '^vî\x

. h sin -

et en remarquant qu'en vertu d'un théorème bien connu, —r— a pour limite l'unité

lorsque h tend vers zéro, on voit que le second membre a pour limite cos x et la dérivée de %\w x est cos x.

30. Dérivée de cos x. — La dérivée de cos x est, par définition, la limite du

rapport

cos(^H-/«) — cos .a?

h Or on a

cos (^4- A] — cos^ "'"'"2

2 sm -sm \x-\ — I

" Ti "" Il '

. h 2 sm -

— j-^ ayant pour limite l'unité, cette expression a évidemment pour limite — -sina?, et la dérivée de cos x est — sin x.

31. Dérivée de tang x. — La fonction tang x étant égale au rapport ■> on

pourrait ne pas la mettre au nombre des fonctions simples, mais on peut aussi obtenir directement sa dérivée de la manière la plus facile. Cette dérivée est, par définition, la limite du rapport

lane.r + lang/i

lang{^ + A) — lang^ i — lang^rlang/j tang A (i + tang^.r)

Il II II [i — lang^langA)

et comme, A tendant vers zéro, ^"^ ^ a pour limite l'unité, cette dernière expression tend vers i + tanfij'^ x, c'est-à-dire vers — :;- > et la dérivée de tang x est

cos' a:

Dérivées des /onctions inverses.

32. Lorsque deux variables sont liées par une équation, chacune d'elles peut être considérée comme fonction de l'autre. Si l'on a, par exemple,

on peut concevoir cette équation résolue par rapport à j et mise sous la forme

le signe 9 désignant une fonction que l'on nomme fonction inverse de celle qui est désignée par le signe ^. D'après cela, si l'on prend une fonction quelconque d'une variable, puis la fonction inverse du résultat, les deux opérations se détruisent et l'on retombe sur la variable elle-même. Ainsi, en admettant les notations précédentes, on a

Exemples. — Si l'on a on en conclut

La racine carrée est donc la fonction inverse du carré; il est clair d'ailleurs que les deux opérations se détruisent lorsqu'on les effectue successivement. Si l'on a

on en déduit

Le logarithme est donc la fonction inverse de l'exponentielle. On a d'ailleurs, conformément à la remarque générale,

• I . e' = jr.

.33- Connaissant la dérivée d'une fonction, on peut trouver celle de la fonction inverse. Soit x une fonction de y définie par Téquation

Supposons que l'on déduise de cette équation

La dérivée ©' (j), de œ par rapport à j, est la limite du rapport de l'accroissement de a? à l'accroissement correspondant de j; Si donc, pour nous servir d'une notation qui sera souvent employée, on nomme Ax l'accroissement de x, et Av

l'accroissement correspondant de y, la dérivée o' (y) est la limite du rapport —[■

La dérivée <]>'{x), de j par rapport kx, est la limite du rapport de l'accroissement de jà l'accroissement correspondant de x, c'est-à-dire ^» et comme les va-

riables x et y sont les mêmes que dans le cas précédent, les rapports ^ et — ont des limites inverses l'une de l'autre, et l'on a par conséquent

^ T ir)

Cette relation fait connaître la dérivée de la fonction <]>.