LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

tendra vers zéro, puisque R est infiniment petit par rapport aux termes que la multiplication par ne a rendus finis. On aura donc à la limite

et la courbe semblable à l'indicatrice est une courbe du second degré, ayant pour centre l'origine des coordonnées.

639. L'indicatrice peut être une ellipse ou une hyperbole; ces deux cas correspondent à deux formes très-différentes que peut avoir la surface autour du point considéré.

Lorsque l'indicatrice est une ellipse, en changeant h en —h, et par suite k en —k. L'équation représente une courbe imaginaire, et par conséquent les plans conduits d'un seul côté du plan tangent la coupent suivant des courbes réelles. La surface est donc tout entière du même côté de son plan tangent, et la forme elliptique de la section infiniment petite faite par un plan voisin de ce plan tangent montre suffisamment qu'elle ressemble à un paraboloïde elliptique dans le voisinage de son sommet.

Lorsque l'indicatrice est une hyperbole, si l'on change h en —h, et par suite k en —k, la courbe représentée par l'équation (3) demeure réelle. Les plans pafallèles au plan tangent coupent donc la surface de quelque côté qu'ils soient menés, et celle-ci est située de part et d'autre du plan tangent qui par conséquent est traversé par elle. Si l'on considère alors les diverses sections faites au point considéré par des plans normaux à la surface, ces sections seront les unes audessus du plan tangent, les autres au-dessous; les premières seront coupées parle plan parallèle au plan tangent mené de l'un des côtés de ce plan, et les autres par celui qui est mené de l'autre côté, en sorte que chaque indicatrice a des rayons vecteurs réels correspondant aux sections normales courbées de l'un des côtés du plan, et des rayons vecteurs imaginaires correspondant à celles qui ont une courbure opposée. On voit que si l'on considère à la fois les deux indicatrices qui correspondent à des sections faites de part et d'autre du plan tangent, les rayons vecteurs réels de l'une correspondent aux rayons imaginaires de l'autre, et réciproquement; c'est d'ailleurs ce que montre l'équation (3), car en y attribuant à h, et par suite à k, deux valeurs égales et de signes contraires, on obtient deux hyperboles conjuguées ayant les mêmes asymptotes, mais situées dans des angles différents.

Loi de la courbure des sections normales.

640. Nous pouvons actuellement étudier la loi de variation de la courbure des^ sections normales d'une surface autour d'un point donné. Soient M ce point, MZ la

normale, ABA' l'indicatrice dont A et A' sont les sommets. Menons par la normale MZ un plan quelconque qui coupe la surface suivant la courbe MIH, le rayon

de courbure de cette courbe sera donné par la formule (498) 2R = tt^^ et comme OM

a la même valeur pour les diverses sections normales, le rayon de courbure est proportionnel au carré du rayon de l'indicatrice qui sert de trace au plan de la section considérée. On voit tout de suite, d'après cela, que les sections de plus grande et de moindre courbure ont pour traces les axes de l'indicatrice, et sont par conséquent perpendiculaires l'une à l'autre. De plus, la relation qui lie le rayon de courbure d'une section quelconque aux deux rayons maxima et minima, est la même que celle qui lie le carré du diamètre d'une section conique aux carrés des deux axes de la courbe; on aura donc, en nommant R et R' les rayons maxima et minima, et p le rayon correspondant à la section qui forme l'angle 9 avec la section dont le rayon est R',