DÉMONSTRATION GEOMETRIQUE DES THEOREMES PRÉCÉDENTS

Indicatrice.

638. Les théorèmes qui précèdent, et en particulier celui qui fait connaître la loi suivant laquelle varie la courbure des sections normales en un point d'une surface, peuvent se déduire facilement et se représenter avec élégance à l'aide d'une courbe nommée indicatrice par M. Dupin, qui l'a considérée le premier.

L'indicatrice d'une surface en un point M de cette surface est la section faite à une distance infiniment petite du point M, par un plan parallèle au plan tangent en M: il faut observer seulement que si la courbe d'intersection a des dimensions finies, comme cela a lieu pour les surfaces à courbures opposées qui sont traversées par leur plan tangent, on donne le nom d'indicatrice à la seule portion de la courbe d'intersection qui est située à une distance infiniment petite du point M.

Nous commencerons par démontrer le théorème suivant :

En un point quelconque d'une surface V indicatrice est une courbe du second degré.

Prenons pour axe des Z la normale à la surface au point considéré, et pour plan desXY le plan tangent en ce point. Soit

l'équation de la surface par rapport à ces axes. Un plan parallèle au plan tangent aura pour équation z = A, et l'indicatrice, projetée en vraie grandeur sur le plan des XY, sera représentée par l'équation

X et y étant infiniment petits pour tous les points de l'indicatrice : si l'on développe le second membre par le théorème deMaclaurin, on aura

R étant infiniment petit (276) par rapport aux termes qui le précèdent; d'ailleurs on a rigoureusement

puisque la surface passe par l'origine des coordonnées, et qu'elle est, en ce point, tangente au plan des XY; l'équation de l'indicatrice se réduit donc à

x^id^ id^\ r(±9\

Soient x'y' les coordonnées d'un point appartenant à une courbe semblable ayant pour centre de similitude l'origine, et m pour rapport de similitude, on aura

X = nix ,

r' = mj,

■2m'\dx')„ m' \dx dy )o~^ 9.171' [dy' )o~^ '

ou, en multipliant par m^.

Supposons que m^ augmente en même temps que h diminue, et de telle sorte i\uem-h ait une limite finie k.x' et y' auront aussi alors des limites finies, etm-R