LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et par conséquent

do / — I Cr

z désignant la distance du point considéré à un point fixe convenablement choisi sur la génératrice.

()57. Il n'est pas sans intérêt de nous arrêter à la formule précédente pour définir géométriquement la position du point 0, qui sert d'origine à la longueur désignée par z, et la constante G relative à chaque génératrice.

Soient AB, A'B' deux génératrices infiniment voisines d'une surface gauche,

00' leur plus courte distance. Par le point 0' menons une parallèle O'C à OM. Soit M un point quelconque de AB. Par ce point M abaissons une perpendiculaire MP sur la ligne O'C, qui évidemment sera perpendiculaire aussi au plan GO'B'; du point P, abaissons une perpendiculaire PM' sur O'B', MM' est, en vertu d'un théorème connu, perpendiculaire à O'B'. D'ailleurs les points M et M' étant infiniment voisins, la ligne MM' est située dans le plan tangent en M', qui, passant aussi par la génératrice, est la limite du plan O'M'M. L'angle de ce plan avec le plan fixe B'O'C a évidemment pour mesure l'angle en M' du triangle rectangle MPM', et l'on a, en désignant par <p le complément de cet angle,

tang^:^^.

On a d'ailleurs, en nommant s l'angle des deux génératrices infiniment voisines,

PM'=: CM'. lange;

on en conclut, en remplaçant tang s par Parc infiniment petit s,

lang9 = j^-0'M',

^ est le rapport de l'angle de deux génératrices infiniment voisines à leur plus

courte distance; ce rapport est constant pour une même génératrice, il est la représentation de la quantité désignée par G, dans le paragraphe précédent, O'M' est la distance désignée par z; et Ton voit que le point fixe 0, dont l'existence a été démontrée (102), est, sur chaque génératrice, le point où se mesure

sa plus courte distance avec la génératrice voisine. La constante G est le rapport de l'angle de deux génératrices à leur plus courte distance. Lorsque, pour toutes les génératrices d'une surface réglée, G est infini, la surface (103) est développable. Le produit des rayons de courbure est alors infini, et l'un d'eux étant par suite infini, l'indicatrice se réduit à deux droites parallèles.

658. Les formules qui précèdent comprennent implicitement toutes les propriétés générales des normales à une surface dans le voisinage d'un point donné. Parmi les conséquences que l'on en peut déduire, nous nous bornerons à signaler le théorème suivant qui a été donné par Sturm :

Toutes les normales à une surface dans le voisinage du point 0 peuvent être considérées comme rencontrant deux droites fixes perpendiculaires l'une à l'autre, et menées par les centres de courbure des deux sections principales dans les plans de ces sections perpendiculairement à la normale au point 0.

Il suffit évidemment, pour démontrer ce théorème, de chercher l'intersection d'une normale quelconque avec les plans des sections et de constater que ces intersections se trouvent sur les lignes indiquées, lorsque l'on néglige, bien entendu, les infiniment petits du second ordre.

Prenons pour axes des coordonnées la normale au point 0 et les tangentes aux deux sections principales. Soient oo\ y\ z' les coordonnées du point 0'; z' étant infiniment petit du second ordre peut être considéré comme nul; ^, n, Ç étant les coordonnées courantes de la normale en 0', les équations de cette ligne sont

^ — x' -{-{ rx' + sf' ) Ç = o , ■n —.}•' -\-{sx'-htr')<:^ = o,

et comme à cause du choix particulier des axes on a ir = o, elles se réduisent à

l — x' -\- rx' 'C, = o , r—x'-\-tx'-Q=o',

pour avoir l'intersection avec le plan des ZX, il faut faire /j = o, on en déduit

l'intersection est donc située sur une parallèle à l'axe des X, menée à la distance -^

et passant par conséquent par le centre de courbure de la section ZOX. On verra

de même que le plan ZOY est rencontré par la même normale, sur une parallèle à

l'axe des Y, menée par le centre de courbure de la section principale qu'il détermine.

Sturm a déduit de son théorème une remarque curieuse. Si autour d'un point

d'une surface on trace une courbe fermée infiniment petite 2, les normales à la surface issues des points de cette courbe forment une surface réglée dont la génératrice est assujettie à rencontrer la courbe 1 et les deux droites que. nous venons de déterminer. Si, par exemple, la courbe 2 a la forme d'un cercle, l'équation de la surface est très-facile à obtenir, et l'on peut constater que les sections parallèles au plan du cercle sont des ellipses qui, pour deux positions particulières, se réduisent aux droites directrices. Ce résultat, rapproché du théorème que nous allons démontrer dans le paragraphe suivant, peut être mis en évidence par une ingénieuse et très-simple expérience que nous indiquerons plus loin.

659. Nous terminerons ce chapitre par la démonstration de deux théorèmes importants relatifs à la théorie des droites normales à une même surface;

Si des rayons de lumière normaux à une même surface quittent un milieu homogène pour pénétrer dans un autre milieu également homogène, en se réfractant suivant la loi de Descartes, quelle que soit la surface de séparation des deux milieux, ils seront encore, après leur réfraction, normaux à une même surface.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point 0 de la surface qui sépare les deux milieux, œ, p, y les angles formés par le rayon incident avec les axes des coordonnées, a', /3', y' les angles formés avec les mêmes axes par le rayon réfracté, / la longueur qui sépare, sur le rayon incident, le point a;, j, z où il rencontre la surface de séparation, du point iPj , Jo s, où il perce la surface à laquelle sont normaux, par hypothèse, tous les rayons incidents. Soit enfin /' une longueur portée sur le rayon réfracté à partir de la surface de séparation des deux milieux, il s'agit de prouver que l'on peut déterminer cette longueur /', de telle sorte que la surface décrite par son extrémité soit normale à tous les rayons réfractés.

En nommant X2, /s» ^2» les coordonnées de l'extrémité de la longueur /', on a

^, =:c4-/cosa, j, =:j-h/cos j3, z, =2H-/cosy, (0

X2 = x-+-r cosx', ji=j-|-/'cos(3', 22 = 2-+-/' ces y',

on déduit de ces équations

dx,=dx-hcos a. dl+ld cos a, dy^—dy+cos ^dl-\-ld ces |3, dz,=dz+cosy dl-hldcos y, {2)

dx,=dx+cosoc'dr-\-l'dcosa',dy,=dy-\-cos^'dr-{-rdcos^',dz,=dz-{-cosy'dl'-\-l'dcosy'.

Ajoutons les trois premières équations (2) après les avoir respectivement multipliées par cos a, cos /3, cos 7, et les trois autres, multipliées respectivement par cos cc\ cos P', cos 7', nous aurons

dXiCOsx-+-dytCOS^-hdz,cosy ~dl -h dx cos oc -\-dy cos ^ + dz cos y, dx, cos ex! + dy, cos jS' + dz^ cos y' = dV -h dx cos oc' H- dy cos ^' + dz cos y' ,

la surface, lieu des points oOi, y^, ^,, étant normale à la droite qui forme avec les

axes les angles a, /3, 7, on a

(4) dx, COSX+ df, cos^ -h dz, cosy =iO, la première équation se réduit donc à

(5) o =: dl-\-cosx dj: + cosÇjdf-h cosy dz ,

dx, dy, dz, sont les projections sur les axes de coordonnées d'un déplacement arbitraire effectué sur la surface de séparation des deux milieux. Soient c^.y ce déplacement, et X, \x, V les angles qu'il forme avec les axes; on a

dx=^dscosl, dj- = ds cos [j. , dz = dscosv,

et par conséquent l'équation (5) devient

( 6 ) o=dl-i- ds i ces a ces >. -h ces (3 ces y. -+- ces y ces v ) ,

ou, en nommant V l'angle formé par la direction du rayon incident avec celle du déplacement </.y,

(7) o=^dl-i-dscos\.

Considérons actuellement le triëdre ayant pour arêtes le rayon incident, la normale à la surface de séparation, et le déplacement c?.ç, en nommant I l'angle du rayon incident avec la normale, et Q, le dièdre qui, dans le trièdre considéré, a pour arête la normale, on a

cos V = sin i ces 12,

et l'équation (7) devient, par conséquent,

(8) o = dl+dssini cosH.

En nommant i' l'angle formé par le rayon réfracté avec la normale, et remarquant que, d'après la loi de Descartes, les deux rayons sont dans un même plan avec cette normale, on verra dé même que la seconde équation (3) devient

(9) cos a' dx, + cos ^' df:, -^cos y' dz,= dl'-hdss'mi' cos il: en nommant rl'indice de réfraction, on a

(ïo) , sini'=rsini,

et par conséquent, si l'on prend /' = ri, on aura dl' = rdl, le second membre de (9) sera nul en vertu de l'équation (8), et l'on aura

o = ces Ci' dx:, -r- ces S' dr^ H- ces y' dz^ ,